Question - Maclaurin Series and Convergence Radius Calculation
Solution:
为了确定函数 $$\frac{2x}{1+x^2}$$ 的麦克劳林级数（Maclaurin series）的收敛半径，我们可以应用比值测试（ratio test）。首先，让我们找一个这个函数的麦克劳林级数的表达式。这个函数是$$ \frac{d}{dx}(\arctan x)$$ 的常数倍，其麦克劳林级数可通过对$$\arctan x$$ 的麦克劳林级数求导得到。$$\arctan x$$ 的麦克劳林级数为:\[ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots \]因此，函数 $$\frac{2x}{1+x^2}$$ 的麦克劳林级数将是：\[ \frac{d}{dx}(\arctan x) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots \]现在乘以2得到：\[ 2 \left( 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots \right) = 2 - 2x^2 + 2x^4 - 2x^6 + \cdots \]接着我们应用比值测试，假设 $$a_n$$ 为系数，即 $$a_n = (-1)^n \cdot 2x^{2n}$$，那么测试的公式为：\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(-1)^{n+1} \cdot 2x^{2(n+1)}}{(-1)^n \cdot 2x^{2n}} \right| \]化简得：\[ \lim_{n \to \infty} |x^2| = x^2 \]收敛半径 $$R$$ 满足：\[ R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |} = \frac{1}{x^2} \]要得到一个具体的收敛半径，我们要让 $$x^2 < 1$$ ，也就是 $$|x| < 1$$。因此，收敛半径 $$R = 1$$。选项 (B) $$R = 1$$ 是正确的。
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