Question - Convergence Radius of Maclaurin Series
Solution:
题目要求我们求解函数 $$ \frac{1}{1+x^2} $$ 的麦克劳林级数的收敛半径。麦克劳林级数是泰勒级数在 $$ x=0 $$ 处的特殊形式。求解一个函数的泰勒级数的收敛半径通常使用比值检验或根检验。函数 $$ \frac{1}{1+x^2} $$ 可以看作是 $$ \frac{1}{1-u} $$ 形式的几何级数的泰勒展开式，其中 $$ u = -x^2 $$。对于几何级数 $$ \sum u^n $$，当 $$ |u| < 1 $$ 时，级数收敛。根据这个条件，为了使原级数收敛，我们有：\[ |u| = |x^2| < 1 \]因此：\[ |x| < 1 \]这意味着原级数的收敛半径为 1。这是因为当 $$ x $$ 的绝对值小于 1 时，级数收敛；当 $$ x $$ 的绝对值大于或等于 1 时，级数发散。所以，根据题目给的选项，答案是 (B) 1。
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