Example Question - integral calculus
Here are examples of questions we've helped users solve.
Definite Integral of a Quadratic Function
Para resolver la integral definida, primero encontraremos la antiderivada de \( x^2 + x - 9 \). <p>\( \int x^2 + x - 9 \, dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 9x + C \)</p> Ahora evaluaremos esta antiderivada en los límites superior e inferior de la integral. <p>\( \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 9x \right]_{5}^{10} \)</p> <p>\( = \left( \frac{1}{3}(10)^3 + \frac{1}{2}(10)^2 - 9(10) \right) - \left( \frac{1}{3}(5)^3 + \frac{1}{2}(5)^2 - 9(5) \right) \)</p> <p>\( = \left( \frac{1}{3}(1000) + \frac{1}{2}(100) - 90 \right) - \left( \frac{1}{3}(125) + \frac{1}{2}(25) - 45 \right) \)</p> <p>\( = \left( 333\frac{1}{3} + 50 - 90 \right) - \left( 41\frac{2}{3} + 12\frac{1}{2} - 45 \right) \)</p> <p>\( = 293\frac{1}{3} - 8\frac{5}{6} \)</p> <p>\( = 293\frac{1}{3} - 8\frac{10}{12} \)</p> <p>\( = 293\frac{4}{12} - 8\frac{10}{12} \)</p> <p>\( = 284\frac{6}{12} \)</p> <p>\( = 284\frac{1}{2} \)</p> La integral definida de \( x^2 + x - 9 \) de 5 a 10 es \( 284\frac{1}{2} \) o \( 284.5 \).
Calculating Volume of Solid Using Disc Method
Para calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por la curva \(y = 4\), el intervalo \(x \in [0, 6]\) y el eje \(x\), utilizaremos el método de los discos o cilindros. Este método consiste en considerar el giro de un disco alrededor del eje \(x\), donde el radio del disco está determinado por la función que define la región, y el espesor del disco es un elemento infinitesimal \(dx\). La fórmula para calcular el volumen \(V\) de un sólido de revolución generado por la rotación de una función \(y=f(x)\) alrededor del eje \(x\) en el intervalo \([a, b]\) es: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \] En este caso, \(f(x) = 4\), que es constante, y el intervalo es \(x \in [0, 6]\). Por lo tanto, el volumen \(V\) será: \[ V = \pi \int_{0}^{6} 4^2 dx \] Ahora calculamos la integral: \[ V = \pi \int_{0}^{6} 16 dx \] \[ V = 16\pi \int_{0}^{6} dx \] \[ V = 16\pi [x]_{0}^{6} \] \[ V = 16\pi [6 - 0] \] \[ V = 16\pi \cdot 6 \] \[ V = 96\pi \] Por lo tanto, el volumen del sólido generado es \(96\pi\) unidades cúbicas.
Calculating Volume of Solid of Revolution using Disk Method
El problema pide calcular el volumen de un sólido de revolución generado al girar la función \( y = 3x^2 + 2x + 3 \) alrededor del eje x, desde \( x = 0.9 \) hasta \( x = 1.35 \). Para resolver este problema, podemos utilizar el método de los discos o el método del cilindro, en este caso, utilizaré el método de los discos. El método de los discos consiste en integrar el área de los discos perpendiculares al eje de revolución. La fórmula para el volumen de un disco es \( \pi r^2 \) donde \( r \) es la distancia desde el eje de revolución hasta el borde del disco. En este caso, la distancia es simplemente el valor de la función \( y \) para un valor dado de \( x \), es decir \( r = y = 3x^2 + 2x + 3 \). El volumen \( V \) del sólido de revolución será la integral definida de \( \pi y^2 \) de los límites de \( x \): \[ V = \pi \int_{0.9}^{1.35} (3x^2 + 2x + 3)^2 \,dx \] Empecemos integrando el cuadrado de la función paso a paso: \[ (3x^2 + 2x + 3)^2 = (3x^2 + 2x + 3)(3x^2 + 2x + 3) \] \[ = 9x^4 + 6x^3 + 9x^2 + 6x^3 + 4x^2 + 6x + 9x^2 + 6x + 9 \] \[ = 9x^4 + 12x^3 + 22x^2 + 12x + 9 \] Ahora integramos término a término: \[ \int (9x^4 + 12x^3 + 22x^2 + 12x + 9) \,dx = \frac{9}{5}x^5 + 3x^4 + \frac{22}{3}x^3 + 6x^2 + 9x + C \] Ahora evaluamos la integral definida desde \( x = 0.9 \) hasta \( x = 1.35 \): \[ V = \pi \left[ \frac{9}{5}(1.35)^5 + 3(1.35)^4 + \frac{22}{3}(1.35)^3 + 6(1.35)^2 + 9(1.35) \right] - \pi \left[ \frac{9}{5}(0.9)^5 + 3(0.9)^4 + \frac{22}{3}(0.9)^3 + 6(0.9)^2 + 9(0.9) \right] \] Ahora puedes usar una calculadora para resolver esta evaluación y obtener el valor exacto del volumen. Recuerda incluir el factor \( \pi \) en cada término y realizar la operación entre paréntesis para ambos límites antes de restarlos.
Finding Volume of Solid of Revolution using Disk Method
Claro, para resolver este ejercicio, estamos buscando el volumen de un sólido de revolución generado al girar una recta en torno al eje X. La ecuación de la recta es y = 2x + 1, y vamos a girar esta recta alrededor del eje X entre los puntos x = 1 y x = -5. Para resolver este problema, utilizamos el método de los discos o anillos cilíndricos, que es una aplicación de la integral definida. La fórmula para el volumen de un sólido de revolución generado al girar una función f(x) alrededor del eje X entre a y b es: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \] En este caso, nuestra función f(x) es y = 2x + 1, así que tenemos: \[ V = \pi \int_{1}^{-5} (2x + 1)^2 dx \] Ahora calculamos la integral definida. Primero expandimos el cuadrado: \[ (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \] Por lo tanto, la integral queda de la siguiente manera: \[ V = \pi \int_{1}^{-5} (4x^2 + 4x + 1) dx \] \[ V = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x \right]_{1}^{-5} \] Evaluamos esta expresión entre los límites de integración -5 y 1: \[ V = \pi \left[ \left( \frac{4}{3}(-5)^3 + 2(-5)^2 + (-5) \right) - \left( \frac{4}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + (1) \right) \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{-500}{3} + 50 - 5 - \left( \frac{4}{3} + 2 + 1 \right) \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{-500}{3} + 50 - 5 - \frac{4}{3} - 2 - 1 \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{-500 - 4}{3} + 43 \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{-504}{3} + 43 \right] \] \[ V = \pi \left[ -168 + 43 \right] \] \[ V = \pi (-125) \] \[ V = -125\pi \] Dado que el volumen no puede ser negativo y la función original se establece por debajo del eje x en algunos puntos de nuesto intervalo, habría que tomar el valor absoluto del resultado para que tenga sentido en términos de volumen físico: \[ V = 125\pi \] Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución es \( 125\pi \) unidades cúbicas.
Calculating Volume of Solid of Revolution Using Disks Method
Para resolver el problema, utilizaremos el método de los discos para calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar la recta en torno al eje x. La fórmula general para encontrar el volumen \( V \) de un sólido de revolución generado al girar una función \( f(x) \) alrededor del eje x entre los límites \( a \) y \( b \) es: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Dado que la ecuación de la recta es \( y = 2x + 1 \), expresamos esta ecuación en términos de \( x \) para aplicar la fórmula: \[ f(x) = y = 2x + 1 \] Los límites de integración \( a \) y \( b \) son dados por los valores de x en los puntos donde \( y = 1 \) y \( y = 5 \), respectivamente. Así que sustituimos estos valores en la ecuación de la recta para hallar los correspondientes valores de x: Para \( y = 1 \): \[ 1 = 2x + 1 \] \[ x = 0 \] Para \( y = 5 \): \[ 5 = 2x + 1 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \] Entonces, los límites de integración son de \( x = 0 \) a \( x = 2 \). Sustituimos la función \( y \) y los límites en la fórmula del volumen: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (2x + 1)^2 \, dx \] Expandimos \( (2x + 1)^2 \): \[ (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \] Ahora, la integral se convierte en: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (4x^2 + 4x + 1) \, dx \] Para integrar, aplicamos la integral término por término: \[ V = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x \right]_{0}^{2} \] Evaluamos esta expresión entre los límites 0 y 2: \[ V = \pi \left[ \left( \frac{4}{3}(2)^3 + 2(2)^2 + (2) \right) - \left( \frac{4}{3}(0)^3 + 2(0)^2 + (0) \right) \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{4}{3}(8) + 2(4) + 2 \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{32}{3} + 8 + 2 \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{32 + 24 + 6}{3} \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{62}{3} \right] \] \[ V = \frac{62}{3} \pi \] Por lo tanto, el volumen del cono generado es \( \frac{62}{3} \pi \) unidades cúbicas.
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