Question - Calculating Volume of Solid Using Disc Method
Solution:
Para calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por la curva $$y = 4$$, el intervalo $$x \in [0, 6]$$ y el eje $$x$$, utilizaremos el método de los discos o cilindros. Este método consiste en considerar el giro de un disco alrededor del eje $$x$$, donde el radio del disco está determinado por la función que define la región, y el espesor del disco es un elemento infinitesimal $$dx$$.La fórmula para calcular el volumen $$V$$ de un sólido de revolución generado por la rotación de una función $$y=f(x)$$ alrededor del eje $$x$$ en el intervalo $$[a, b]$$ es:\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \]En este caso, $$f(x) = 4$$, que es constante, y el intervalo es $$x \in [0, 6]$$. Por lo tanto, el volumen $$V$$ será:\[ V = \pi \int_{0}^{6} 4^2 dx \]Ahora calculamos la integral:\[ V = \pi \int_{0}^{6} 16 dx \]\[ V = 16\pi \int_{0}^{6} dx \]\[ V = 16\pi [x]_{0}^{6} \]\[ V = 16\pi [6 - 0] \]\[ V = 16\pi \cdot 6 \]\[ V = 96\pi \]Por lo tanto, el volumen del sólido generado es $$96\pi$$ unidades cúbicas.
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