Question - Finding Volume of Solid of Revolution using Disk Method
Solution:
Claro, para resolver este ejercicio, estamos buscando el volumen de un sólido de revolución generado al girar una recta en torno al eje X.La ecuación de la recta es y = 2x + 1, y vamos a girar esta recta alrededor del eje X entre los puntos x = 1 y x = -5.Para resolver este problema, utilizamos el método de los discos o anillos cilíndricos, que es una aplicación de la integral definida.La fórmula para el volumen de un sólido de revolución generado al girar una función f(x) alrededor del eje X entre a y b es:\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \]En este caso, nuestra función f(x) es y = 2x + 1, así que tenemos:\[ V = \pi \int_{1}^{-5} (2x + 1)^2 dx \]Ahora calculamos la integral definida. Primero expandimos el cuadrado:\[ (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \]Por lo tanto, la integral queda de la siguiente manera:\[ V = \pi \int_{1}^{-5} (4x^2 + 4x + 1) dx \]\[ V = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x \right]_{1}^{-5} \]Evaluamos esta expresión entre los límites de integración -5 y 1:\[ V = \pi \left[ \left( \frac{4}{3}(-5)^3 + 2(-5)^2 + (-5) \right) - \left( \frac{4}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + (1) \right) \right] \]\[ V = \pi \left[ \frac{-500}{3} + 50 - 5 - \left( \frac{4}{3} + 2 + 1 \right) \right] \]\[ V = \pi \left[ \frac{-500}{3} + 50 - 5 - \frac{4}{3} - 2 - 1 \right] \]\[ V = \pi \left[ \frac{-500 - 4}{3} + 43 \right] \]\[ V = \pi \left[ \frac{-504}{3} + 43 \right] \]\[ V = \pi \left[ -168 + 43 \right] \]\[ V = \pi (-125) \]\[ V = -125\pi \]Dado que el volumen no puede ser negativo y la función original se establece por debajo del eje x en algunos puntos de nuesto intervalo, habría que tomar el valor absoluto del resultado para que tenga sentido en términos de volumen físico:\[ V = 125\pi \]Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución es $$ 125\pi $$ unidades cúbicas.
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