Question - Calculating Volume of Solid of Revolution Using Disks Method
Solution:
Para resolver el problema, utilizaremos el método de los discos para calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar la recta en torno al eje x. La fórmula general para encontrar el volumen $$ V $$ de un sólido de revolución generado al girar una función $$ f(x) $$ alrededor del eje x entre los límites $$ a $$ y $$ b $$ es:\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \]Dado que la ecuación de la recta es $$ y = 2x + 1 $$, expresamos esta ecuación en términos de $$ x $$ para aplicar la fórmula:\[ f(x) = y = 2x + 1 \]Los límites de integración $$ a $$ y $$ b $$ son dados por los valores de x en los puntos donde $$ y = 1 $$ y $$ y = 5 $$, respectivamente. Así que sustituimos estos valores en la ecuación de la recta para hallar los correspondientes valores de x:Para $$ y = 1 $$:\[ 1 = 2x + 1 \]\[ x = 0 \]Para $$ y = 5 $$:\[ 5 = 2x + 1 \]\[ 2x = 4 \]\[ x = 2 \]Entonces, los límites de integración son de $$ x = 0 $$ a $$ x = 2 $$. Sustituimos la función $$ y $$ y los límites en la fórmula del volumen:\[ V = \pi \int_{0}^{2} (2x + 1)^2 \, dx \]Expandimos $$ (2x + 1)^2 $$:\[ (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \]Ahora, la integral se convierte en:\[ V = \pi \int_{0}^{2} (4x^2 + 4x + 1) \, dx \]Para integrar, aplicamos la integral término por término:\[ V = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x \right]_{0}^{2} \]Evaluamos esta expresión entre los límites 0 y 2:\[ V = \pi \left[ \left( \frac{4}{3}(2)^3 + 2(2)^2 + (2) \right) - \left( \frac{4}{3}(0)^3 + 2(0)^2 + (0) \right) \right] \]\[ V = \pi \left[ \frac{4}{3}(8) + 2(4) + 2 \right] \]\[ V = \pi \left[ \frac{32}{3} + 8 + 2 \right] \]\[ V = \pi \left[ \frac{32 + 24 + 6}{3} \right] \]\[ V = \pi \left[ \frac{62}{3} \right] \]\[ V = \frac{62}{3} \pi \]Por lo tanto, el volumen del cono generado es $$ \frac{62}{3} \pi $$ unidades cúbicas.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com