Example Question - graphing
Here are examples of questions we've helped users solve.
Completing a Function Table
<p>Para completar la tabla de la función \( f(x) = -x^2 - 8x + 7 \), sustituya los valores de x en la función y calcule los valores correspondientes de \( f(x) \).</p> <p>Para x = 0:</p> <p>\( f(0) = -(0)^2 - 8(0) + 7 = 7 \)</p> <p>Para x = 1:</p> <p>\( f(1) = -(1)^2 - 8(1) + 7 = -1^2 - 8 + 7 = -1 - 8 + 7 = -2 \)</p> <p>Para x = 2:</p> <p>\( f(2) = -(2)^2 - 8(2) + 7 = -2^2 - 16 + 7 = -4 - 16 + 7 = -13 \)</p> <p>Para x = 3:</p> <p>\( f(3) = -(3)^2 - 8(3) + 7 = -3^2 - 24 + 7 = -9 - 24 + 7 = -26 \)</p> <p>Para x = 4:</p> <p>\( f(4) = -(4)^2 - 8(4) + 7 = -4^2 - 32 + 7 = -16 - 32 + 7 = -41 \)</p> <p>Para x = 5:</p> <p>\( f(5) = -(5)^2 - 8(5) + 7 = -5^2 - 40 + 7 = -25 - 40 + 7 = -58 \)</p> <p>Para x = 6:</p> <p>\( f(6) = -(6)^2 - 8(6) + 7 = -6^2 - 48 + 7 = -36 - 48 + 7 = -77 \)</p> <p>Por lo tanto, la tabla completa sería:</p> <p>\[ \begin{align*} x & : 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ f(x) & : 7 & -2 & -13 & -26 & -41 & -58 & -77 & - & 7 \\ \end{align*} \]</p> <p>Nota: El valor especificado para \( x = 7 \) no está dado en la imagen y no se calcula aquí porque normalmente completaríamos la tabla con valores consecutivos de x y, en este caso, el valor para \( x = 8 \) ya nos lo han proporcionado. Sin embargo, si se desea calcular \( f(7) \), se sigue el mismo procedimiento que con los otros valores de x.</p>
Quadratic Function Table Completion
<p>Para completar la tabla, sustituiremos cada valor de \( x \) en la función cuadrática \( f(x) = x^2 - 8x + 7 \) y resolveremos para \( f(x) \).</p> <p>Para \( x = 0 \):</p> \( f(0) = (0)^2 - 8(0) + 7 = 0 - 0 + 7 = 7 \) <p>Para \( x = 1 \):</p> \( f(1) = (1)^2 - 8(1) + 7 = 1 - 8 + 7 = 0 \) <p>Para \( x = 2 \):</p> \( f(2) = (2)^2 - 8(2) + 7 = 4 - 16 + 7 = -5 \) <p>Para \( x = 3 \):</p> \( f(3) = (3)^2 - 8(3) + 7 = 9 - 24 + 7 = -8 \) <p>Para \( x = 4 \):</p> \( f(4) = (4)^2 - 8(4) + 7 = 16 - 32 + 7 = -9 \) <p>Para \( x = 5 \):</p> \( f(5) = (5)^2 - 8(5) + 7 = 25 - 40 + 7 = -8 \) <p>Para \( x = 6 \):</p> \( f(6) = (6)^2 - 8(6) + 7 = 36 - 48 + 7 = -5 \) <p>La tabla completa sería:</p> <p>\[ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 7 \\ 1 & 0 \\ 2 & -5 \\ 3 & -8 \\ 4 & -9 \\ 5 & -8 \\ 6 & -5 \\ 7 & 0 \\ 8 & 7 \\ \end{array} \] </p>
Graphing a Linear Equation
<p>Para graficar la ecuación lineal \(2x + 3y = 7\), primero encontramos dos puntos resolviendo para una variable mientras asignamos valores a la otra.</p> <p>Si \(x=0\): \[2(0) + 3y = 7 \] \[3y = 7 \] \[y = \frac{7}{3} \] Entonces, tenemos el punto \((0, \frac{7}{3})\).</p> <p>Si \(y=0\): \[2x + 3(0) = 7 \] \[2x = 7 \] \[x = \frac{7}{2} \] Entonces, tenemos el punto \((\frac{7}{2}, 0)\).</p> <p>Con estos dos puntos, podemos trazar la recta que representa la ecuación dada.</p>
Graphing a Linear Equation
<p>Para graficar la ecuación lineal 2x + 3y = 7, primero encontramos los interceptos en los ejes x e y.</p> <p>Intercepto en x cuando y = 0:</p> <p>2x + 3(0) = 7 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2}</p> <p>Intercepto en y cuando x = 0:</p> <p>2(0) + 3y = 7 \Rightarrow 3y = 7 \Rightarrow y = \frac{7}{3}</p> <p>Con los puntos (\frac{7}{2},0) y (0,\frac{7}{3}) podemos dibujar la recta.</p>
Graphing Linear Equations
<p>Para graficar la ecuación lineal \( y = 3x - 2 \), primero evaluamos \( y \) para cada valor de \( x \) en la tabla proporcionada.</p> <p>Si \( x = 3 \):</p> <p>\( y = 3(3) - 2 = 9 - 2 = 7 \)</p> <p>Si \( x = 2 \):</p> <p>\( y = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4 \)</p> <p>Si \( x = -2 \):</p> <p>\( y = 3(-2) - 2 = -6 - 2 = -8 \)</p> <p>Y cuando \( x = 0 \), que ya está dado en la tabla:</p> <p>\( y = 3(0) - 2 = 0 - 2 = -2 \)</p> <p>Ahora podemos graficar los puntos (3,7), (2,4), (-2,-8), y (0,-2) en el plano coordenado y dibujar la línea que los une, que será la gráfica de la ecuación lineal \( y = 3x - 2 \).</p>
Graphing a Linear Equation
\[ \begin{array}{c} \text{Para el valor de} \ x = 3: \\ y = 3(3) - 2 = 9 - 2 = 7 \\ \text{Por lo tanto, el par ordenado es} \ (3,7). \\ \text{Para el valor de} \ x = 2: \\ y = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4 \\ \text{Por lo tanto, el par ordenado es} \ (2,4). \\ \text{Para el valor de} \ x = -2: \\ y = 3(-2) - 2 = -6 - 2 = -8 \\ \text{Por lo tanto, el par ordenado es} \ (-2,-8). \\ \text{Para el valor de} \ x = 0: \\ y = 3(0) - 2 = 0 - 2 = -2 \\ \text{Por lo tanto, el par ordenado es} \ (0,-2). \\ \end{array} \] Con estos pares ordenados, se pueden marcar los puntos correspondientes en el plano coordenado y trazar la recta que los une para representar la ecuación lineal \( y = 3x - 2 \).
Graphing a Cotangent Function
<p>To graph \( y = 2\cot(2x) \), we need to identify the properties of the cotangent function, including its period, phase shift, amplitude, and asymptotes.</p> <p>The basic cotangent function has the form \( y = \cot(x) \) with vertical asymptotes at \( x = k\pi \) where \( k \) is an integer, since cotangent is undefined when sine is 0, which happens at these points. The period of the cotangent function is \( \pi \), meaning it repeats every \( \pi \) units.</p> <p>For \( y = 2\cot(2x) \), the period is \( \frac{\pi}{b} \), where \( b \) is the coefficient of \( x \), which is 2 in this case. Thus, the period of this function is \( \frac{\pi}{2} \). This means that vertical asymptotes occur at points \( x = \frac{k\pi}{2} \) for integer \( k \).</p> <p>The amplitude, normally affecting the height of the peaks in sine and cosine functions, doesn't apply to the cotangent function as it goes to infinity at the asymptotes.</p> <p>The graph will oscillate between the asymptotes and will have a point of symmetry at \( x = \frac{k\pi}{2} \) for odd \( k \). You can plot key points by evaluating \( y = 2\cot(2x) \) at various \( x \) values, bearing in mind that cotangent is the reciprocal of tangent.</p> <p>Some points to consider for one period of the function starting from \( x = 0 \) up to \( x = \frac{\pi}{2} \) would include the undefined points where vertical asymptotes occur (at \( x = 0 \) and \( x = \frac{\pi}{2} \)) and a point of intersection on the x-axis at \( x = \frac{\pi}{4} \) where \( \cot(\frac{\pi}{2}) = 0 \).</p> <p>Now you can sketch the graph using the asymptotes at \( x = 0 \) and \( x = \frac{\pi}{2} \), the x-axis intersection at \( x = \frac{\pi}{4} \), and the fact that the cotangent function decreases as \( x \) increases within each period.</p>
Identifying Quadrants on Cartesian Plane
<p>El problema muestra un plano cartesiano sin los ejes claramente definidos. Basándonos en el conocimiento estándar del plano cartesiano, podemos identificar los cuadrantes de la siguiente manera:</p> <p>El Primer cuadrante (I) se encuentra en la parte superior derecha, donde ambos, las coordenadas \( x \) y \( y \), son positivas.</p> <p>El Segundo cuadrante (II) se encuentra en la parte superior izquierda, donde las coordenadas \( x \) son negativas y las coordenadas \( y \) son positivas.</p> <p>El Tercer cuadrante (III) se encuentra en la parte inferior izquierda, donde tanto las coordenadas \( x \) como \( y \) son negativas.</p> <p>El Cuarto cuadrante (IV) se encuentra en la parte inferior derecha, donde las coordenadas \( x \) son positivas y las coordenadas \( y \) son negativas.</p> <p>Nota: Para asignar los cuadrantes correctamente en el dibujo dado, debemos asumir la orientación estándar de los ejes, aunque los ejes no están etiquetados.</p>
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