Example Question - exponentiation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Determining the Nature of a Numerical Expression
<p>Дано выражение: </p> <p>\( (2^{2.5}) \cdot (4^{-0.5}) \cdot (8^{0.25}) \)</p> <p>Преобразуем основания степеней к одному основанию (основание 2), используя свойства степеней:</p> <p>\( 2^{2.5} = 2^{2+\frac{1}{2}} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \)</p> <p>\( 4^{-0.5} = (2^2)^{-0.5} = 2^{-1} \)</p> <p>\( 8^{0.25} = (2^3)^{0.25} = 2^{0.75} = 2^{\frac{3}{4}} \)</p> <p>Теперь умножаем эти степени с одинаковым основанием:</p> <p>\( 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-1} \cdot 2^{\frac{3}{4}} \)</p> <p>Складываем показатели степени:</p> <p>\( 2 + \frac{1}{2} - 1 + \frac{3}{4} = 2 + \frac{2}{4} - \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = 2 + \frac{1}{4} = 2.25 \)</p> <p>Таким образом, получаем:</p> <p>\( 2^{2.25} \)</p> <p>Поскольку показатель степени не является целым числом, выражение является дробным числом.</p>
Understanding Powers of Ten and Large Numbers
\[ \begin{align*} \text{Zahl} & \quad \text{Zehnerpotenz} & \quad \text{Wort} \\ 10 & \quad 10^1 & \quad \text{zehn} \\ 100 & \quad 10^2 & \quad \text{hundert} \\ 1.000 & \quad 10^3 & \quad \text{tausend} \\ 10.000 & \quad 10^4 & \quad \text{zehntausend} \\ 100.000 & \quad 10^5 & \quad \text{hunderttausend} \\ 1.000.000 & \quad 10^6 & \quad \text{eine Million} \\ 10.000.000 & \quad 10^7 & \quad \text{zehn Millionen} \\ 100.000.000 & \quad 10^8 & \quad \text{hundert Millionen} \\ 1.000.000.000 & \quad 10^9 & \quad \text{eine Milliarde} \\ 10.000.000.000 & \quad 10^{10} & \quad \text{zehn Milliarden} \\ 100.000.000.000 & \quad 10^{11} & \quad \text{hundert Milliarden} \\ 1.000.000.000.000 & \quad 10^{12} & \quad \text{eine Billion} \\ \end{align*} \]
Simplification of a Power Expression
<p>Cuando una potencia se eleva a otra potencia, multiplicamos los exponentes. La expresión dada es $\left(\frac{1}{3}\right)^3$.</p> <p>Aplicando la regla de las potencias obtenemos:</p> <p>$\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \left(3^{-1}\right)^3$</p> <p>$= 3^{-1\cdot3}$</p> <p>$= 3^{-3}$</p> <p>$= \frac{1}{3^3}$</p> <p>$= \frac{1}{27}$</p>
Evaluating Exponential Expression
The image displays a question asking for the answer to an expression: \(7^2\) To solve this, you simply need to calculate the square of 7, which means multiplying 7 by itself: \(7 \times 7 = 49\) So the answer to the question is 49.
Calculating 4 to the power of 3-3b
题目提供了以下的信息：\(2^5=5\), \( \log_8 3 = \frac{1}{6} \)，要我们计算 \(4^{3-3b}\)。 首先，我们需要将4的幂表示为2的幂，因为我们知道与2相关的信息。由于 \(4 = 2^2\)，我们可以重写 \(4^{3-3b}\) 为 \( (2^2)^{3-3b} = 2^{2(3-3b)} = 2^{6-6b} \)。 我们已经知道 \(2^5 = 5\)，但我们需要计算的是 \(2^{6-6b}\)。现在我们需要一个与b相关的表达式，我们可以利用 \( \log_8 3 = \frac{1}{6} \) 来得到b的值。 根据对数的定义，我们可以将 \( \log_8 3 = \frac{1}{6} \) 重写为 \( 8^\frac{1}{6} = 3 \)，而 \(8 = 2^3\)，所以 \( (2^3)^\frac{1}{6} = 3 \)，或者 \(2^\frac{1}{2} = 3\)。 这意味着 \(2^b = 3 \rightarrow b = \frac{1}{2}\)。现在我们已经知道了b的值，我们可以将其代入 \(2^{6-6b}\)： \(2^{6-6b} = 2^{6-6(\frac{1}{2})} = 2^{6-3} = 2^3 \)。 因为我们没有 \(2^3\) 直接的值，所以我们无法根据已知信息计算出具体的数字。如果题目中只提供了 \(2^5 = 5\) 和 \( \log_8 3 = \frac{1}{6} \)，我们没有足够的信息来确定 \(2^3\) 的实际数值，需要额外的信息才能解决这个问题。
Exponentiation of Fractions with Negative Exponent
Para resolver la expresión \(\left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac{5}{4}}\), sigue estos pasos: 1. Primero, recuerda que elevar un número a un exponente negativo es equivalente a tomar el recíproco del número y cambiar el signo del exponente a positivo. Es decir, \(a^{-b} = \frac{1}{a^b}\). Entonces, la expresión se convierte en: \(\left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac{5}{4}} = \frac{1}{\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{5}{4}}}\) 2. Ahora vamos a trabajar con la parte del exponente \(\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{5}{4}}\). Para elevar una fracción a una potencia fraccionaria, elevamos el numerador y el denominador por separado: \(\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{5}{4}} = \left(16^{\frac{5}{4}}\right) / \left(81^{\frac{5}{4}}\right)\) 3. Las potencias fraccionarias pueden descomponerse en una raíz y una potencia. Por ejemplo, \(a^{\frac{m}{n}}\) es lo mismo que \(\sqrt[n]{a^m}\). En este caso, \(a = 16\) y \(a = 81\), \(m = 5\) y \(n = 4\). \(\left(16^{\frac{5}{4}}\right) / \left(81^{\frac{5}{4}}\right) = \left(\sqrt[4]{16^5}\right) / \left(\sqrt[4]{81^5}\right)\) 4. Sabemos que \(\sqrt[4]{16} = 2\) y \(\sqrt[4]{81} = 3\), porque \(2^4 = 16\) y \(3^4 = 81\). Entonces, elevamos 2 y 3 a la quinta potencia: \(\left(\sqrt[4]{16^5}\right) / \left(\sqrt[4]{81^5}\right) = \left(2^5\right) / \left(3^5\right)\) 5. Calculamos \(2^5 = 32\) y \(3^5 = 243\). \(\left(2^5\right) / \left(3^5\right) = \frac{32}{243}\) 6. Finalmente, volvemos a la expresión original donde teníamos el recíproco: \(\frac{1}{\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{5}{4}}} = \frac{1}{\frac{32}{243}}\) 7. Tomamos el recíproco de \(\frac{32}{243}\), que es \(\frac{243}{32}\). Por lo tanto, el resultado de la expresión original \(\left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac{5}{4}}\) es \(\frac{243}{32}\).
Fractional Exponential Calculation with Negative Exponent
Para resolver esta operación, primero debemos entender que tenemos una fracción (\(\frac{16}{81}\)) elevada a un exponente negativo (-5). La propiedad de los exponentes nos dice que una base fraccionaria \(a/b\) elevada a un exponente negativo -n es igual a la base invertida \(b/a\) elevada al exponente positivo n. En este caso, la base fraccionaria es \(\frac{16}{81}\), y el exponente al que está elevada es -5. Invertimos la fracción para obtener \(\frac{81}{16}\) y cambiamos el signo del exponente a positivo: \[(\frac{16}{81})^{-5} = (\frac{81}{16})^{5}\] Ahora, calcularemos \(\frac{81}{16}\) al exponente 5, lo cual significa multiplicar \(\frac{81}{16}\) por sí mismo 5 veces: \[\left(\frac{81}{16}\right)^5 = \frac{81^5}{16^5}\] Realizamos la potenciación de 81 y 16 por separado: \(81^5\) (81 multiplicado por sí mismo 5 veces) y \(16^5\) (16 multiplicado por sí mismo 5 veces). \(81^5 = 81 \times 81 \times 81 \times 81 \times 81\) \(16^5 = 16 \times 16 \times 16 \times 16 \times 16\) Como esta operación implica cálculos extensos, se pueden usar calculadoras para obtener los resultados: \(81^5 = 3,486,784,401\) \(16^5 = 1,048,576\) Entonces: \(\frac{81^5}{16^5} = \frac{3,486,784,401}{1,048,576}\) Debido a la complejidad de estos números, es habitual dejar la respuesta en términos de la fracción no simplificada o como una potencia, pero si quieres obtener el resultado decimal exacto, se puede dividir 3,486,784,401 por 1,048,576, lo cual da: \(\frac{3,486,784,401}{1,048,576} \approx 3323,0625\) Así que, \((\frac{16}{81})^{-5}\) es aproximadamente igual a 3323,0625.
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