Question - Exponentiation of Fractions with Negative Exponent
Solution:
Para resolver la expresión $$\left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac{5}{4}}$$, sigue estos pasos:1. Primero, recuerda que elevar un número a un exponente negativo es equivalente a tomar el recíproco del número y cambiar el signo del exponente a positivo. Es decir, $$a^{-b} = \frac{1}{a^b}$$.Entonces, la expresión se convierte en:$$\left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac{5}{4}} = \frac{1}{\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{5}{4}}}$$2. Ahora vamos a trabajar con la parte del exponente $$\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{5}{4}}$$. Para elevar una fracción a una potencia fraccionaria, elevamos el numerador y el denominador por separado:$$\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{5}{4}} = \left(16^{\frac{5}{4}}\right) / \left(81^{\frac{5}{4}}\right)$$3. Las potencias fraccionarias pueden descomponerse en una raíz y una potencia. Por ejemplo, $$a^{\frac{m}{n}}$$ es lo mismo que $$\sqrt[n]{a^m}$$. En este caso, $$a = 16$$ y $$a = 81$$, $$m = 5$$ y $$n = 4$$.$$\left(16^{\frac{5}{4}}\right) / \left(81^{\frac{5}{4}}\right) = \left(\sqrt[4]{16^5}\right) / \left(\sqrt[4]{81^5}\right)$$4. Sabemos que $$\sqrt[4]{16} = 2$$ y $$\sqrt[4]{81} = 3$$, porque $$2^4 = 16$$ y $$3^4 = 81$$. Entonces, elevamos 2 y 3 a la quinta potencia:$$\left(\sqrt[4]{16^5}\right) / \left(\sqrt[4]{81^5}\right) = \left(2^5\right) / \left(3^5\right)$$5. Calculamos $$2^5 = 32$$ y $$3^5 = 243$$.$$\left(2^5\right) / \left(3^5\right) = \frac{32}{243}$$6. Finalmente, volvemos a la expresión original donde teníamos el recíproco:$$\frac{1}{\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{5}{4}}} = \frac{1}{\frac{32}{243}}$$7. Tomamos el recíproco de $$\frac{32}{243}$$, que es $$\frac{243}{32}$$.Por lo tanto, el resultado de la expresión original $$\left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac{5}{4}}$$ es $$\frac{243}{32}$$.
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