Example Question - equations
Here are examples of questions we've helped users solve.
Mathematical Statements Evaluation
<p>Para la opción a:</p> <p>6 + 4 = 10 y 9 - 4 = 5;</p> <p>Ambas afirmaciones son verdaderas.</p> <p>Para la opción b:</p> <p>8/2 = 4 y 8 + 2 = 12;</p> <p>Ambas afirmaciones son verdaderas.</p> <p>Para la opción c:</p> <p>No se puede evaluar como verdadera o falsa ya que es una afirmación.</p> <p>Para la opción d:</p> <p>Si 3 * 7 = 21, entonces 9 - 7 = 2;</p> <p>Ambas afirmaciones son verdaderas.</p>
Expression Simplification
<p>To simplify the expression, we first expand the terms:</p> <p>1. 5x(2a) + 5x(3) - 4(6a) = 10ax + 15x - 24a.</p> <p>2. Combine like terms with 10x² + 15d - 8x - 12.</p> <p>Final expression: 10x² + (15d - 8x) - 24a - 12</p>
Finding the Value of n
<p>Given \( (x^n)^3 = \frac{x^{18}}{x^{-6}} \), we can start by simplifying the right side:</p> <p>First, rewrite \( x^{-6} \) as \( \frac{1}{x^6} \), so we have:</p> <p>\( \frac{x^{18}}{x^{-6}} = x^{18} \cdot x^{6} = x^{18 + 6} = x^{24} \)</p> <p>Now we have:</p> <p> \( (x^n)^3 = x^{24} \)</p> <p>Using the property of exponents, we get:</p> <p> \( x^{3n} = x^{24} \)</p> <p>Since the bases are the same, set the exponents equal:</p> <p> \( 3n = 24 \)</p> <p>Now, solving for \( n \):</p> <p> \( n = \frac{24}{3} = 8 \)</p> <p>Thus, the value of \( n \) is \( 8 \).</p>
Matrix Addition and Equations
<p>First, add the corresponding elements of the matrices:</p> <p>\(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ y & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 + 4 & 1 - 1 \\ y + 6 & 5 + x \end{bmatrix}\)</p> <p>Which simplifies to:</p> <p>\(\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ y + 6 & 5 + x \end{bmatrix}\)</p> <p>Set the resulting matrix equal to the given matrix:</p> <p>\(\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ x & 7 \end{bmatrix}\)</p> <p>This gives the equations:</p> <p>1. \(y + 6 = x\)</p> <p>2. \(5 + x = 7\)</p> <p>From the second equation, solve for \(x\):</p> <p>\(x = 7 - 5 = 2\)</p> <p>Now substitute \(x = 2\) into the first equation:</p> <p>\(y + 6 = 2 \implies y = 2 - 6 = -4\)</p> <p>Thus, the solution is:</p> <p>\(y = -4\), \(x = 2\)</p>
Finding the Value of x
<p>Comencemos por simplificar la ecuación dada:</p> <p>2 - \{4 - (x - 1)\} = 7 - 3x</p> <p>Primero, expandimos y simplificamos el lado izquierdo:</p> <p>2 - 4 + x - 1 = 7 - 3x</p> <p>Esto se convierte en:</p> <p>x - 3 = 7 - 3x</p> <p>Añadimos 3x a ambos lados:</p> <p>x + 3x - 3 = 7</p> <p>4x - 3 = 7</p> <p>Añadimos 3 a ambos lados:</p> <p>4x = 10</p> <p>Dividimos ambos lados por 4:</p> <p>x = \frac{10}{4}</p> <p>x = \frac{5}{2}</p> <p>Así que el valor de x es:</p> <p>x = \frac{5}{2}</p>
Algebraic Evaluation of an Expression with Exponents
Given the equation \(2^x = 3^y = 6^z\), we want to find the value of \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\). <p>\(6^z = (2 \cdot 3)^z = 2^z \cdot 3^z\)</p> <p>Since \(2^x = 3^y = 6^z\), we can say \(2^x = 2^z \cdot 3^z\).</p> <p>Therefore, \(x = z \cdot (\log_2{2} + \log_2{3}) = z + z \cdot \log_2{3}\).</p> <p>Similarly, \(3^y = 2^z \cdot 3^z\) implies \(y = z \cdot (\log_3{2} + \log_3{3}) = z \cdot \log_3{2} + z\).</p> <p>We find \(\log_2{3}\) and \(\log_3{2}\) by changing the base:</p> <p>\(\log_2{3} = \frac{1}{\log_3{2}}\)</p> <p>\(x = z + z \cdot \log_2{3} = z + \frac{z}{\log_3{2}}\)</p> <p>\(y = z \cdot \log_3{2} + z\)</p> <p>We then calculate the sum:</p> <p>\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{z + \frac{z}{\log_3{2}}} + \frac{1}{z \cdot \log_3{2} + z} + \frac{1}{z}\)</p> <p>By finding a common denominator, we have:</p> <p>\(\frac{\log_3{2}(\log_3{2} + 1) + 1 + \log_3{2}(\log_3{2} + 1)}{z(\log_3{2} + 1)}\)</p> <p>This simplifies to:</p> <p>\(\frac{2\log_3{2}(\log_3{2} + 1) + 1}{z(\log_3{2} + 1)}\)</p> <p>Since \(\log_3{2}(\log_3{2} + 1) = 1\), we get:</p> <p>\(\frac{2 \cdot 1 + 1}{z(\log_3{2} + 1)} = \frac{3}{z(\log_3{2} + 1)}\)</p> <p>Now, \(y = z \cdot \log_3{2} + z\) gives us \(y = z(\log_3{2} + 1)\), hence substituting \(y\) into the denominator yields:</p> <p>\(\frac{3}{y}\)</p> <p>Since \(2^x=3^y\), it follows that \(x=y\), thus \(\frac{3}{y} = \frac{3}{x}\).</p> <p>Finally, \(2^x=3^y\) implies \(1 = \frac{3}{x}\), so the value of the sum \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\) is 3.</p>
Sketching a Parametric Curve
\[ <p>1. Set up a table of values for t, x(t), and y(t).</p> <p>2. Calculate the corresponding x and y for at least 5 values of t within the interval \[-2, 2\].</p> <p>3. Plot the calculated points (x, y) on a coordinate plane.</p> <p>4. Draw the curve that connects these points smoothly, showing the movement as t increases.</p> \]
Solving a System of Linear Equations using Elimination Method
El conjunto de ecuaciones proporcionado es un sistema de ecuaciones lineales. Para resolverlo, utilizaremos el método de eliminación para reducir el sistema a ecuaciones con menos variables y luego resolver esas ecuaciones. Comenzamos con el sistema original: \[ \begin{cases} x + y = 0 \\ x + 2y - 3z = -3 \\ 2x + 3y - 4z = -3 \end{cases} \] Primero, vamos a restar la primera ecuación de la segunda y la tercera para eliminar la variable \(x\): Restando la primera ecuación de la segunda: \[ (x + 2y - 3z) - (x + y) = -3 - 0 \] \[ 2y - y - 3z = -3 \] \[ y - 3z = -3 \] ... (ecuación 2') Restando el doble de la primera ecuación de la tercera: \[ (2x + 3y - 4z) - 2(x + y) = -3 - 2(0) \] \[ 2x + 3y - 4z - 2x - 2y = -3 \] \[ y - 4z = -3 \] ... (ecuación 3') Ahora tenemos un sistema simplificado con las siguientes dos ecuaciones: \[ \begin{cases} y - 3z = -3 \quad \text{(ecuación 2')} \\ y - 4z = -3 \quad \text{(ecuación 3')} \end{cases} \] Restamos la ecuación 2' de la ecuación 3': \[ (y - 4z) - (y - 3z) = -3 - (-3) \] \[ -4z + 3z = 0 \] \[ -z = 0 \] \[ z = 0 \] Una vez que tenemos \(z = 0\), podemos sustituir este valor en la ecuación 2' o 3' para encontrar el valor de \(y\): \[ y - 3(0) = -3 \] \[ y = -3 \] Ahora que conocemos los valores de \(y\) y \(z\), podemos sustituir estos valores en la primera ecuación original para encontrar \(x\): \[ x + (-3) = 0 \] \[ x = 3 \] Por ende, la solución al sistema de ecuaciones es: \[ x = 3, y = -3, z = 0 \]
Solving a Mathematical Puzzle with Number Restrictions
Para resolver este problema, necesitaremos usar la información dada en el enunciado para formular ecuaciones. Basándonos en que las sumas de números en cada fila, cada columna y las diagonales sean iguales a \(18\), y que los únicos números utilizados son \(4\), \(6\) y \(8\), procedemos de la siguiente manera: Observamos que en la diagonal principal hay dos \(x\)s y un \(z\), así que podemos formular nuestra primera ecuación de la siguiente forma: \[x + x + z = 18\] \[2x + z = 18\] \[z = 18 - 2x\] En la segunda fila, tiene un \(x\), un \(y\) y un \(z\), de donde obtenemos la segunda ecuación: \[x + y + z = 18\] Y en la tercera columna tenemos un \(x\), un \(y\) y un \(z\), lo que resulta en la tercera ecuación: \[x + y + z = 18\] Dado que \(y + z\) debe ser igual a la suma en la segunda fila o tercera columna menos el \(x\), y como sabemos que ese total es \(18\), tendremos una ecuación para \(y\): \[y = 18 - x - z\] Usando la relación que encontramos antes para \(z\), sustituimos para hallar \(y\): \[y = 18 - x - (18 - 2x)\] \[y = 18 - x - 18 + 2x\] \[y = 2x - x\] \[y = x\] Ya que \(y\) y \(x\) son iguales, y las únicas posibilidades de números son \(4\), \(6\), y \(8\), podemos deducir que \(x\) y \(y\) no pueden ser el mismo número entre esas posibilidades, dado que habría tres números iguales en la matriz, lo cual rompería la condición de que la suma de cada fila es \(18\). Dicho de otra manera, si \(x = y\), entonces \(z\) también sería igual a \(x\) y \(y\) para que la suma de la diagonal principal sea \(18\), lo que significa que los tres números \(x\), \(y\), y \(z\) están duplicados. Por lo tanto, \(x\) debe ser \(6\) para que la suma de cualquier fila, columna o diagonal no exceda \(18\), y esto implica que \(y = 6\), y \(z\) seria entonces \(8\), porque \(2(6) + 8 = 18\). Ahora que tenemos los valores de \(x\), \(y\), y \(z\), reemplazamos en la expresión \(3(x + y) - 2z\): \[3(6 + 6) - 2(8)\] \[3(12) - 16\] \[36 - 16 = 20\] Por lo tanto, el valor de la expresión es \(20\), pero esta opción no aparece entre las respuestas propuestas, por lo que puede haber un error ya sea en mis cálculos o en las opciones de respuesta dadas en la imagen. Vamos a verificar nuevamente las ecuaciones y el problema. Al revisar, me he dado cuenta que cometí un error al asumir que \(x\) y \(y\) deben ser necesariamente diferentes debido a la restricción de los números permitidos. En realidad, es posible que \(x\) y \(y\) sean iguales si \(z\) es diferente, para seguir cumpliendo la condición de suma de \(18\) para la diagonal principal. Repasemos con la corrección: Si \(x = y\), entonces podemos encontrar \(z\) a partir de la suma de la diagonal: \[2x + z = 18\] \[z = 18 - 2x\] Si \(x\) y \(y\) son \(6\), entonces el valor de \(z\) sería: \[z = 18 - 2(6)\] \[z = 18 - 12\] \[z = 6\] Esto no puede ser posible ya que nos da tres \(6\) y esto rompe la condición de que la suma de cada fila, columna y diagonal es \(18\), ya que la suma excedería \(18\) en estos casos. Sin embargo, si consideramos que \(x\) y \(y\) son \(4\), el valor de \(z\) sería: \[z = 18 - 2(4)\] \[z = 18 - 8\] \[z = 10\] Esta solución no es válida ya que \(z\) tiene que ser uno de los números \(4\), \(6\) u \(8\), según los datos del problema. Por descarte, asumimos que \(x\) y \(y\) son \(8\), y entonces el valor de \(z\) sería: \[z = 18 - 2(8)\] \[z = 18 - 16\] \[z = 2\] Este también rompe con las reglas ya que \(z\) debe ser \(4\), \(6\), o \(8\). Por el procedimiento de eliminación, los números no están cumpliendo con las reglas del problema, por lo tanto, vamos a usar una estrategia diferente. Vamos a pensar en todas las posibilidades para las sumas en cada fila, columna y diagonal con \(x\), \(y\), y \(z\). Al considerar la combinación de números, uno de los tres números debe repetirse. Como \(z\) es el término que no se repite en la diagonal, \(z\) debe ser \(4\) o \(8\), el menor o el mayor de los tres números, para que se pueda alcanzar la suma de \(18\) con dos números iguales \(x\) y \(y\). Si \(z\) es \(4\), los números repetidos necesitarían sumar \(14\) (para que se totalice \(18\)), lo que no es posible con \(6\) o \(8\) (ya que \(6+6=12\) y \(8+8=16\)). Si \(z\) es \(8\), entonces los números repetidos serían \(5\) cada uno, para alcanzar la suma de \(18\), lo cual tampoco es posible. Por lo tanto, por descarte, \(z\) no puede ser ni \(4\) ni \(8\), y necesariamente debe ser \(6\) para que se puedan cumplir las condiciones en las diagonales, y para que \(x\) y \(y\) puedan ser \(4\) y \(8\). Vamos a asignar valores a \(x\) y \(y\) para que coincidan con la suma requerida: Si \(z = 6\), entonces \(x + y = 18 - z = 18 - 6 = 12\). Para que la suma sea \(12\) y que \(x\) y \(y\) sean diferentes, \(x\) debe ser \(4\) y \(y\) debe ser \(8\) o viceversa. Ahora, substituimos \(x = 4\) y \(y = 8\) en la expresión dada: \[3(x + y) - 2z\] \[3(4 + 8) - 2(6)\] \[3(12) - 12\] \[36 - 12 = 24\] Por lo tanto, el valor de la expresión es \(24\), lo cual corresponde a la respuesta B) \(24\), que es la respuesta correcta para la expresión dada bajo las restricciones del problema.
Parallel Lines and Inconsistent Systems of Equations
The equations provided in the image are: 1) \( y = -\frac{5}{4}x + 8 \) 2) \( y = -\frac{5}{4}x - 9 \) To solve these equations, you should first notice that both equations have the same slope, \(-\frac{5}{4}\), which indicates that the lines are parallel and therefore will never intersect each other. This means there is no single solution (x, y) that will satisfy both equations simultaneously. In other words, there is no solution to this system of equations; it is an inconsistent system.
Parallel Lines in Geometry
Dựa vào hình ảnh bạn cung cấp, tôi sẽ giải câu hỏi số 2, vì câu hỏi số 3 không liên quan đến việc giải toán. Câu 2. Cho đường thẳng (d): y = 3x + 4 và (d'): y = ax - 19 Để (d) song song với (d') thì a = ... Đường thẳng (d) có dạng y = mx + b, trong đó m là hệ số góc và b là hệ số tự do. Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hệ số góc. Trong trường hợp của (d) và (d'), hệ số góc của (d) là 3 ( với m = 3 từ phương trình y = 3x + 4). Để (d) song song với (d') thì hệ số góc của (d') cũng phải bằng 3 (hệ số a phải bằng m). Vậy a = 3. Chọn đáp án C: a = 3.
Solving a Farming Puzzle with Equations
Para resolver esta pregunta, primero necesitamos establecer dos ecuaciones basadas en la información dada en el problema: Denotemos el número de estacas a lo largo como \( L \) y el número de estacas a lo ancho como \( W \). El problema nos dice que las estacas a lo largo y a lo ancho están en una relación de 3 a 2, entonces podemos escribir eso como una proporción: \[ L = \frac{3}{2}W \] El número total de estacas que se necesitan para un intento es \( L \times W \). En el primer intento, él necesita 174 estacas más de las que tiene, lo cual podemos escribir como: \[ L \times W = \text{número total de estacas} + 174 \] En el segundo intento, el agricultor decide usar 3 estacas menos a lo largo y 2 menos a lo ancho, lo que nos da \( L - 3 \) y \( W - 2 \). Con esta configuración le sobran 96 estacas, así que tenemos: \[ (L - 3) \times (W - 2) = \text{número total de estacas} - 96 \] Pero sabemos que \( L = \frac{3}{2}W \), entonces reemplazamos \( L \) en las ecuaciones arriba mencionadas: \[ \frac{3}{2}W \times W = \text{número total de estacas} + 174 \] \[ \left(\frac{3}{2}W - 3\right) \times (W - 2) = \text{número total de estacas} - 96 \] Ahora tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas. Podemos resolver este sistema de ecuaciones para encontrar \( W \) y luego \( L \). Multiplicando la primera ecuación y simplificándola obtenemos: \[ \frac{3}{2}W^2 = \text{número total de estacas} + 174 \tag{1} \] Multiplicando y simplificando la segunda ecuación: \[ \left(\frac{3}{2}W - 3\right)(W - 2) = \text{número total de estacas} - 96 \] \[ \frac{3}{2}W^2 - 3W - \frac{3}{2}W \times 2 + 6 = \text{número total de estacas} - 96 \] \[ \frac{3}{2}W^2 - 6W + 6 = \text{número total de estacas} - 96 \tag{2} \] Ahora tomamos la ecuación (1) y restamos la ecuación (2): \[ \frac{3}{2}W^2 - \left(\frac{3}{2}W^2 - 6W + 6\right) = (174 + 96) \] \[ 6W - 6 = 270 \] \[ 6W = 270 + 6 \] \[ 6W = 276 \] \[ W = 46 \] Ahora, reemplazamos el valor de \( W \) en \( L = \frac{3}{2}W \): \[ L = \frac{3}{2} \times 46 \] \[ L = 3 \times 23 \] \[ L = 69 \] Finalmente, calculamos el número total de estacas que el agricultor tenía originalmente: \[ L \times W = \text{número total de estacas} + 174 \] \[ 69 \times 46 = \text{número total de estacas} + 174 \] \[ 3174 = \text{número total de estacas} + 174 \] \[ \text{número total de estacas} = 3174 - 174 \] \[ \text{número total de estacas} = 3000 \] Por lo tanto, el número total de estacas disponibles es 3000, que corresponde a la opción C.
Solution for Determining Number of Talented Students in Class 9A
Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ thiết lập một hệ phương trình dựa trên những thông tin đã cho trong bài toán. Gọi tổng số học sinh giỏi của lớp 9A trong học kỳ I là x (x > 0). Vì số học sinh giỏi học kỳ II chiếm 40% tổng số học sinh của lớp và nhiều hơn học kỳ I là 4 học sinh nên số học sinh giỏi học kỳ II sẽ là x + 4. Tổng số học sinh giỏi trong cả hai học kỳ (I và II) chiếm lần lượt 30% và 40% tổng số học sinh cả lớp, tức là tỉ lệ giữa học kỳ I và học kỳ II là 3:4. Từ đó, ta có tỉ lệ: x/(x + 4) = 3/4 Chúng ta giải phương trình: x/(x + 4) = 3/4 Cross-multiplication cho ta: 4x = 3(x + 4) Khi giải ra, ta được: 4x = 3x + 12 x = 12 Như vậy, số học sinh giỏi của lớp 9A trong học kỳ I là 12. Số học sinh giỏi trong học kỳ II sẽ là 12 + 4 = 16. Nếu tổng số học sinh của lớp không đổi trong suốt năm học, và số học sinh giỏi học kỳ II chiếm 40% tổng số học sinh của lớp, vậy ta có thể tính tổng số học sinh của lớp bằng: Tổng số học sinh = Số học sinh giỏi học kỳ II / 40% Tổng số học sinh = 16 / 0.4 Tổng số học sinh = 40 Vậy lớp 9A có tổng cộng 40 học sinh.
Comparing Fractions in Equations
Claro, podemos resolver una de las ecuaciones proporcionadas en la imagen: Por ejemplo, vamos a resolver la ecuación "a": \( \frac{7}{5} \, \boxed{?} \, \frac{6}{4} \) Aquí, necesitamos determinar si la fracción a la izquierda del signo de interrogación es menor que (\(<\)), mayor que (\(>\)), o igual a (\(=\)) la fracción a la derecha del signo de interrogación. Primero, simplifiquemos las fracciones para facilitar la comparación. La fracción de la derecha, \( \frac{6}{4} \), se puede simplificar dividiendo el numerador y el denominador por 2 (el máximo común divisor de 6 y 4): \( \frac{6 ÷ 2}{4 ÷ 2} = \frac{3}{2} \) Ahora comparemos las fracciones \( \frac{7}{5} \) y \( \frac{3}{2} \). Un método es convertirlas a fracciones con el mismo denominador y luego comparar los numeradores, o podemos comparar las fracciones convirtiéndolas a decimales. Convirtamos las fracciones a decimales: \( \frac{7}{5} = 1.4 \) \( \frac{3}{2} = 1.5 \) Al comparar los decimales, vemos que \( 1.4 < 1.5 \). Por lo tanto, \( \frac{7}{5} < \frac{6}{4} \), y el símbolo que falta es \( < \). Si necesita ayuda con los otros ejemplos de la imagen, no dude en preguntar.
Solving Egg Selling Problem
Đầu tiên, ta gọi số trứng gà mà người đó mang đi bán là \( x \), và số trứng vịt là \( y \). Theo đề bài ta có hai phương trình: \( x \times 4000 + y \times 3500 = 35 \times 4000 \) (1) \( x + y = 45 \) (2) Từ phương trình (2), ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \): \( y = 45 - x \). (3) Tiếp theo, thay thế \( y \) trong phương trình (1) bằng \( 45 - x \) từ phương trình (3), ta được: \( x \times 4000 + (45 - x) \times 3500 = 35 \times 4000 \). Giải phương trình trên để tìm \( x \) và sau đó tìm \( y \): \( 4000x + 157500 - 3500x = 140000 \) \( 500x = 140000 - 157500 \) \( x = -17500 / 500 \) \( x = -35 \) Nhưng vì số lượng trứng không thể là số âm, rõ ràng đã có sự nhầm lẫn nào đó xảy ra trong quá trình giải phương trình. Hãy kiểm tra lại các bước của chúng ta: Cụ thể hơn, có thể ta đã nhấn nhầm nút trừ thay vì cộng trong quá trình tính toán. Hãy tính lại phương trình: \( 4000x + 157500 - 3500x = 140000 \) \( 500x + 157500 = 140000 \) \( 500x = 140000 - 157500 \) \( 500x = -17500 \) Đây là lỗi thực sự trong quá trình giải phương trình. Cả hai vế phải cùng giảm đi 157500, ta sẽ có: \( 500x = 140000 - 157500 \) \( 500x = -17500 \) Dấu trừ ở đây là do ta đã giả sử rằng người đó đã mua 35 quả trứng với giá 4000 đồng/quả - một giả thiết sai lầm. Thực tế, người đó đã bán tổng cộng 35 quả trứng với giá 4000 đồng/quả, nhưng đây không phải là số trứng gà, mà là số trứng gà và số trứng vịt cộng lại. Do đó chúng ta phải giả thiết phương trình khác biệt: \( 4000x + 3500y = 35 \times (4000) + 10 \times (3500) \) Với 10 là hiệu số giữa 45 quả trứng tổng cộng và 35 quả trứng đã được tính giá cả ban đầu. Hãy giải phương trình này. \( 4000x + 3500y = 140000 + 35000 \) \( 4000x + 3500y = 175000 \) \( 4000x + 3500(45-x) = 175000 \) \( 4000x + 157500 - 3500x = 175000 \) \( 500x = 175000-157500 \) \( 500x = 17500 \) \( x = 17500/500 \) \( x = 35 \) Vậy số trứng gà là 35 quả. Ta thay x = 35 vào phương trình (3) để tìm y: \( y = 45 - 35 \) \( y = 10 \) Vậy người đó đã bán 35 quả trứng gà và 10 quả trứng vịt.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com