Question - Solving a Farming Puzzle with Equations
Solution:
Para resolver esta pregunta, primero necesitamos establecer dos ecuaciones basadas en la información dada en el problema:Denotemos el número de estacas a lo largo como $$ L $$ y el número de estacas a lo ancho como $$ W $$. El problema nos dice que las estacas a lo largo y a lo ancho están en una relación de 3 a 2, entonces podemos escribir eso como una proporción:\[ L = \frac{3}{2}W \]El número total de estacas que se necesitan para un intento es $$ L \times W $$. En el primer intento, él necesita 174 estacas más de las que tiene, lo cual podemos escribir como:\[ L \times W = \text{número total de estacas} + 174 \]En el segundo intento, el agricultor decide usar 3 estacas menos a lo largo y 2 menos a lo ancho, lo que nos da $$ L - 3 $$ y $$ W - 2 $$. Con esta configuración le sobran 96 estacas, así que tenemos:\[ (L - 3) \times (W - 2) = \text{número total de estacas} - 96 \]Pero sabemos que $$ L = \frac{3}{2}W $$, entonces reemplazamos $$ L $$ en las ecuaciones arriba mencionadas:\[ \frac{3}{2}W \times W = \text{número total de estacas} + 174 \]\[ \left(\frac{3}{2}W - 3\right) \times (W - 2) = \text{número total de estacas} - 96 \]Ahora tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas. Podemos resolver este sistema de ecuaciones para encontrar $$ W $$ y luego $$ L $$.Multiplicando la primera ecuación y simplificándola obtenemos:\[ \frac{3}{2}W^2 = \text{número total de estacas} + 174 \tag{1} \]Multiplicando y simplificando la segunda ecuación:\[ \left(\frac{3}{2}W - 3\right)(W - 2) = \text{número total de estacas} - 96 \]\[ \frac{3}{2}W^2 - 3W - \frac{3}{2}W \times 2 + 6 = \text{número total de estacas} - 96 \]\[ \frac{3}{2}W^2 - 6W + 6 = \text{número total de estacas} - 96 \tag{2} \]Ahora tomamos la ecuación (1) y restamos la ecuación (2):\[ \frac{3}{2}W^2 - \left(\frac{3}{2}W^2 - 6W + 6\right) = (174 + 96) \]\[ 6W - 6 = 270 \]\[ 6W = 270 + 6 \]\[ 6W = 276 \]\[ W = 46 \]Ahora, reemplazamos el valor de $$ W $$ en $$ L = \frac{3}{2}W $$:\[ L = \frac{3}{2} \times 46 \]\[ L = 3 \times 23 \]\[ L = 69 \]Finalmente, calculamos el número total de estacas que el agricultor tenía originalmente:\[ L \times W = \text{número total de estacas} + 174 \]\[ 69 \times 46 = \text{número total de estacas} + 174 \]\[ 3174 = \text{número total de estacas} + 174 \]\[ \text{número total de estacas} = 3174 - 174 \]\[ \text{número total de estacas} = 3000 \]Por lo tanto, el número total de estacas disponibles es 3000, que corresponde a la opción C.
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