CamTutor

Example Question - discriminant

Here are examples of questions we've helped users solve.

Solving a Quadratic Equation

We have the quadratic equation \(2x^2 - 4x - 6 = 0\). To solve for \(x\), we can use the quadratic formula: \(x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}\), where \(a = 2\), \(b = -4\), and \(c = -6\). First, calculate the discriminant (\(b^2 - 4ac\)): \((-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64\). Since the discriminant is positive, there are two real solutions. Now compute the two solutions using the quadratic formula: \(x = \frac{{-(-4) \pm \sqrt{64}}}{2 \cdot 2} = \frac{{4 \pm 8}}{4}\). So, the two solutions are: \(x = \frac{{4 + 8}}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\) and \(x = \frac{{4 - 8}}{4} = \frac{{-4}}{4} = -1\). Thus, the solutions to the equation \(2x^2 - 4x - 6 = 0\) are \(x = 3\) and \(x = -1\).

Quadratic Equation Solution Using the Quadratic Formula

The provided image shows the quadratic formula, which is used to find the solutions of a quadratic equation \( ax^2 + bx + c = 0 \). The solutions using the quadratic formula are: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}}{{2a}} \] This formula calculates the roots of any quadratic equation where \( a \neq 0 \). The term inside the square root, \( b^2 - 4ac \), is known as the discriminant, and it determines the nature of the roots: - If \( b^2 - 4ac > 0 \), there are two distinct real roots. - If \( b^2 - 4ac = 0 \), there is one real root (a repeated root). - If \( b^2 - 4ac < 0 \), there are two complex roots. To solve a specific quadratic equation using this formula, one should substitute the values of \( a \), \( b \), and \( c \) from the equation into the formula and simplify.

Solving Quadratic Equation using Quadratic Formula

To solve the quadratic equation \(3x^2 + 5x - 2 = 0\), use the quadratic formula: \(x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\) Here, \(a = 3\), \(b = 5\), and \(c = -2\). Step 1: Calculate the discriminant Discriminant \(D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49\) Step 2: Calculate the two roots using the quadratic formula \(x = \frac{{-5 \pm \sqrt{49}}}{{2(3)}}\) Step 3: Compute the two values of \(x\) \(x = \frac{{-5 \pm 7}}{{6}}\) Roots: \(x_1 = \frac{{-5 + 7}}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) \(x_2 = \frac{{-5 - 7}}{6} = \frac{-12}{6} = -2\) The two solutions are \(x = \frac{1}{3}\) and \(x = -2\).

Solving a Quadratic Equation by the Quadratic Formula

Para resolver la ecuación que aparece en la imagen, necesitamos simplificar y expandir las expresiones en ambos lados del signo igual, y después recolectar términos semejantes y resolver para x. La ecuación es: \( 6(2x - 3) + (2x - 9)^2 = (5x + 1)(4x - 3) \) Comenzamos expandiendo y simplificando ambos lados de la ecuación: Primero, el lado izquierdo de la ecuación: \( 6(2x - 3) = 12x - 18 \) \( (2x - 9)^2 = (2x - 9)(2x - 9) = 4x^2 - 18x - 18x + 81 = 4x^2 - 36x + 81 \) Sumamos ambas expresiones simplificadas: \( 12x - 18 + 4x^2 - 36x + 81 \) \( = 4x^2 - 24x + 63 \) Ahora, el lado derecho de la ecuación: \( (5x + 1)(4x - 3) = 20x^2 - 15x + 4x - 3 = 20x^2 - 11x - 3 \) Igualamos ambas expresiones: \( 4x^2 - 24x + 63 = 20x^2 - 11x - 3 \) Ahora, llevamos todos los términos al mismo lado para tener una ecuación cuadrática igualada a cero: \( 4x^2 - 24x + 63 - 20x^2 + 11x + 3 = 0 \) \( -16x^2 + 13x + 66 = 0 \) Esta es una ecuación cuadrática que podemos resolver por factorización, completando el cuadrado o usando la fórmula cuadrática. Sin embargo, al mirar los coeficientes, parece que no hay factores obvios, así que la fórmula cuadrática parece ser la mejor opción. La fórmula cuadrática es \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), donde \(a\), \(b\), y \(c\) son los coeficientes de la ecuación \(ax^2 + bx + c = 0\). En este caso, \(a = -16\), \(b = 13\), y \(c = 66\). Calculamos el discriminante (\(b^2 - 4ac\)): \(13^2 - 4(-16)(66) = 169 + 4224 = 4393\) Y aplicamos la fórmula cuadrática: \(x = \frac{-13 \pm \sqrt{4393}}{-32}\) Por lo tanto, tenemos dos soluciones posibles para \(x\), dependiendo de si tomamos la raíz cuadrada positiva o negativa del discriminante. Como el discriminante es un número positivo, sabemos que existen dos soluciones reales y distintas para esta ecuación cuadrática.

Determining solutions of a quadratic equation using discriminant

Por supuesto, aunque no indicaste qué determinar exactamente de la ecuación cuadrática que se muestra: −2x^2 + 5x − 8 = 0 Generalmente, "determinar, sin resolver la ecuación" podría significar identificar el número y naturaleza de las soluciones sin calcular los valores exactos. Para ello, podemos usar el discriminante de una ecuación cuadrática, el cual se define como D = b^2 - 4ac, donde a, b y c son los coeficientes de x^2, x y el término constante, respectivamente. En este caso, los coeficientes son: a = -2 b = 5 c = -8 Calculamos el discriminante: D = b^2 - 4ac D = (5)^2 - 4(-2)(-8) D = 25 - 4(16) D = 25 - 64 D = -39 Dado que el discriminante es negativo (D < 0), podemos determinar que la ecuación tiene dos soluciones complejas conjugadas. Esto significa que no hay soluciones reales para la ecuación cuadrática dada.

Solving Quadratic Equations with Formula

Claro, resolveremos la ecuación cuadrática que aparece en la imagen, que es \(2x^2 + 5x + 3 = 0\). Para resolver esta ecuación, podemos utilizar la fórmula cuadrática: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Donde \(a\), \(b\), y \(c\) son los coeficientes de los términos cuadráticos, lineales e independientes, respectivamente, de nuestra ecuación. En nuestra ecuación, \(a = 2\), \(b = 5\), y \(c = 3\). Primero calculamos el discriminante (\(b^2 - 4ac\)): \[\begin{align*} b^2 - 4ac &= 5^2 - 4(2)(3) \\ &= 25 - 24 \\ &= 1 \end{align*}\] Como el discriminante es positivo, habrá dos soluciones reales y distintas. Ahora utilizamos la fórmula cuadrática para encontrar los valores de \(x\): \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{-5 \pm 1}{4} \] Ahora calculamos los dos valores posibles para \(x\): 1) Tomando el signo positivo: \[ x = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \] 2) Tomando el signo negativo: \[ x = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5 \] Entonces, las dos soluciones para la ecuación cuadrática son \(x = -1\) y \(x = -1.5\).

Solving Quadratic Equations and Finding Parameters

Phần ảnh bạn cung cấp gồm có hai câu hỏi. Tôi sẽ giải từng câu một. 1) Giải phương trình: \(9x^2 - 11x + 2 = 0\). Phương trình này có thể giải thông qua công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \(ax^2 + bx + c = 0\) có nghiệm \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Ta có \(a = 9\), \(b = -11\), và \(c = 2\). Thực hiện theo công thức, ta có: \(x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 * 9 * 2}}{2 * 9}\) \(x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 72}}{18}\) \(x = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{18}\) \(x = \frac{11 \pm 7}{18}\) Từ đó ta có hai nghiệm: \(x = \frac{11 + 7}{18} = \frac{18}{18} = 1\) \(x = \frac{11 - 7}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}\) Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = \frac{2}{9}\). 2) Câu hỏi thứ hai yêu cầu giải phương trình \(x^2 + (1 - m)x - m = 0\) và tìm giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 9\). Trước hết, để phương trình có hai nghiệm phân biệt, \(\Delta > 0\), tức là: \((1 - m)^2 - 4(-m) > 0\) \(1 - 2m + m^2 + 4m > 0\) \(m^2 + 2m + 1 > 0\) \((m + 1)^2 > 0\). Điều này luôn đúng với mọi \(m \neq -1\). Áp dụng định lý Vi-ét, ta có \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) và \(x_1 x_2 = \frac{c}{a}\). \(x_1 + x_2 = -\frac{1 - m}{1} = m - 1\) \(x_1 x_2 = -\frac{-m}{1} = m\). Theo yêu cầu của đề bài, ta cần \(x_1^2 + x_2^2 = 9\). Sử dụng công thức \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\), ta có: \((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9\) \((m - 1)^2 - 2m = 9\) \(m^2 - 2m + 1 - 2m = 9\) \(m^2 - 4m - 8 = 0\). Ta giải phương trình bậc hai này, sử dụng công thức nghiệm: \(m = \frac{4 \pm \sqrt{(4)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}\) \(m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2}\) \(m = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2}\) \(m = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2}\) \(m = 2 \pm 2\sqrt{3}\). Vậy có hai giá trị của \(m\) thoả mãn điều kiện đề bài là \(m = 2 + 2\sqrt{3}\) và \(m = 2 - 2\sqrt{3}\) (với \(m \neq -1\)).

Quadratic Equation with Distinct Roots

Để giải bài toán trong hình, ta cần tìm ra giá trị của \( m \) sao cho phương trình bậc hai \( x^2 - mx + m - 1 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt. Để có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần và đủ là biệt thức của phương trình bậc hai phải lớn hơn 0, tức là: \[ \Delta > 0 \] Với phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \), biệt thức được tính bởi công thức: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Áp dụng vào phương trình \( x^2 - mx + m - 1 = 0 \), ta có: \[ a = 1, b = -m, c = m - 1 \] Tính biệt thức: \[ \Delta = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 1) \] \[ \Delta = m^2 - 4m + 4 \] Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần có: \[ m^2 - 4m + 4 > 0 \] Đây là một tam thức bậc hai với \( a = 1 \), \( b = -4 \), và \( c = 4 \). Ta có thể biến đổi tam thức này như sau: \[ (m - 2)^2 > 0 \] Vì một bình phương luôn không âm, nên \( (m - 2)^2 \) chỉ có thể nhỏ hơn hoặc bằng 0 khi \( m = 2 \). Mọi giá trị khác của \( m \) sẽ làm cho biểu thức trên lớn hơn không, điều này có nghĩa là phương trình sẽ có hai nghiệm phân biệt với mọi \( m \neq 2 \). Vậy nên, đáp án đúng ở đây là: C. \( m \neq 2 \).

Solving a Quadratic Equation Using the Quadratic Formula

To solve the quadratic equation \( a^2 + 4a + 4 = 0 \) using the quadratic formula, we need to identify the coefficients of the equation, which are in the standard form \( ax^2 + bx + c = 0 \). For this equation: \( a = 1 \) \( b = 4 \) \( c = 4 \) The quadratic formula is given by: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}}{{2a}} \] Plugging in the coefficients: \[ x = \frac{{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}}{{2 \cdot 1}} \] \[ x = \frac{{-4 \pm \sqrt{16 - 16}}}{{2}} \] \[ x = \frac{{-4 \pm \sqrt{0}}}{{2}} \] \[ x = \frac{{-4 \pm 0}}{{2}} \] \[ x = \frac{{-4}}{{2}} \] \[ x = -2 \] Since the discriminant (\( b^2 - 4ac \)) is zero, there is one real, repeated solution to the equation. Therefore, the solution to the equation \( a^2 + 4a + 4 = 0 \) is \( x = -2 \). This is the simplest form.