Example Question - counting cubes
Here are examples of questions we've helped users solve.
Counting Cubes in Different Structures
In dem Bild werden Würfelstrukturen gezeigt, sowie Formeln von zwei Personen, Milena und Kevin, die unterschiedliche Methoden haben, um die Anzahl der Würfel in den Strukturen zu zählen. Milena zählt die Würfel mit der Formel \(2 + k\), wobei \(k\) die Anzahl der Sichtbaren Seitenflächen (also nicht die Unterseite) auf der obersten Reihe von Würfeln ist. Kevin hingegen verwendet die Formel \(3 \cdot n - 1\), wobei \(n\) die Anzahl der Würfel in der obersten Reihe ist. Um die Anzahl der Würfel für eine beliebige Mauer zu berechnen, können wir beide Formeln verwenden. Aber zuerst müssen wir die Bedeutungen der Variablen in den Formeln verstehen. Betrachten wir zum Beispiel Mauer A. In der obersten Reihe gibt es vier Würfel, und die Anzahl der sichtbaren Seitenflächen auf diesen Würfeln ist acht. Verwenden wir Milenas Formel für Mauer A: \(k = 8\) Anzahl der Würfel = \(2 + k = 2 + 8 = 10\) Verwenden wir Kevins Formel für Mauer A: \(n = 4\) Anzahl der Würfel = \(3 \cdot n - 1 = 3 \cdot 4 - 1 = 12 - 1 = 11\) Es scheint, dass die Formeln unterschiedliche Ergebnisse liefern. Das liegt daran, dass die Formeln tatsächlich für verschiedene Strukturen von Mauern gedacht sind. Milenas Formel funktioniert für Mauern, bei denen genau zwei Würfel auf der Grundfläche stehen, unabhängig von der Anzahl der sichtbaren Seitenflächen auf der Oberseite. Kevin hingegen betrachtet Mauern, bei denen die Würfel (abgesehen vom ebenen Boden) nur einzelne Würfel sind, die in einer Reihe stehen. Für Mauer B von dem Bild gilt: \(k = 7\) Anzahl der Würfel nach Milena = \(2 + k = 2 + 7 = 9\) \(n = 3\) Anzahl der Würfel nach Kevin = \(3 \cdot n - 1 = 3 \cdot 3 - 1 = 9 - 1 = 8\) Da Mauer A drei Würfel auf der Grundfläche hat und Mauer B zwei, passt Milenas Formel besser für Mauer B. Für Mauer D gilt Kevins Formel besser, da sie einfache, in einer Reihe stehende Würfel zeigt: \(k\) ist nicht anwendbar, weil es nicht der Ansatz von Milena ist. \(n = 5\) Anzahl der Würfel = \(3 \cdot n - 1 = 3 \cdot 5 - 1 = 15 - 1 = 14\) Somit beantwortet Kevin mit seiner Formel die Frage für Mauern, die wie Mauer D aufgebaut sind, und Milena für Mauern, die wie Mauer B aufgebaut sind, jedoch muss bei Milenas Herangehensweise die Anzahl der Würfel auf der Grundfläche zwei betragen.
Comparing Formulas for Counting Cubes in Mural Arrangements
In dem Bild sieht man zwei verschiedene Anordnungen von Würfeln. Um die Frage zu lösen, die sich auf die verschiedenen Formeln von Milena und Kevin zum Beschreiben der Anzahl der Würfel bezieht, gilt es zu überprüfen, welche Formel die Anzahl der Würfel für eine beliebige Länge der Mauern korrekt berechnet. Die Formel von Milena lautet: Anzahl der Würfel = 2 * (k + 1) Die Formel von Kevin lautet: Anzahl der Würfel = 3 * k + 1 Um zu überprüfen, welche Formel korrekt ist, wählen wir eine bestimmte Länge für die Mauer aus und setzen in beide Formeln ein. Nehmen wir an, k sei die Anzahl der sichtbaren Würfel an der längsten Seite der Mauer. Bei der kleineren Mauer (A) ist k = 1 und bei der größeren Mauer (B) ist k = 2. Setzen wir zuerst k = 1 in beide Formeln ein: Milena: 2 * (1 + 1) = 2 * 2 = 4 Kevin: 3 * 1 + 1 = 3 + 1 = 4 Beide Formeln ergeben 4, und das ist die tatsächliche Anzahl der Würfel in der kleineren Mauer (A). Nun setzen wir k = 2 ein, um die größere Mauer (B) zu überprüfen: Milena: 2 * (2 + 1) = 2 * 3 = 6 Kevin: 3 * 2 + 1 = 6 + 1 = 7 Hier sehen wir, dass Milenas Formel 6 Würfel ergibt, während Kevins Formel 7 Würfel ergibt. In der realen Mauer (B) sind jedoch insgesamt 7 Würfel. Das bedeutet, dass Kevins Formel die Anzahl der Würfel für Mauer (B) korrekt beschreibt, während Milenas Formel nicht die richtige Anzahl ergibt. Die korrekte Formel für die Berechnung der Anzahl der Würfel in den Mauern, die auf dem Bild zu sehen sind, ist also die von Kevin: Anzahl der Würfel = 3 * k + 1. Diese Formel stimmt für beide Mauern überein und kann für Mauern beliebiger Länge verwendet werden.
Analyzing Proposed Terms for Counting Cubes in Walls
In dieser Aufgabe geht es darum, die von Milena und Kevin vorgeschlagenen Terme zu analysieren und zu bestimmen, welcher der Terme die Anzahl der Würfel in den Mauern korrekt beschreibt. Die Terme sind: - Milena: \( 2 \times n + 1 \) - Kevin: \( 3 \times n - 1 \) Zuerst soll festgestellt werden, wer von den beiden recht hat. Dazu betrachten wir die gezeigten Mauern: Für Mauer A sehen wir 5 Würfel an der sichtbaren Frontseite und können davon ausgehen, dass darunter eine weitere Reihe mit 4 Würfeln ist, da man sieht, dass die Mauer nach hinten weniger Würfel hat als an der Vorderseite. Das gibt insgesamt 9 Würfel \( (5 + 4) \) für Mauer A. Für Mauer B sehen wir 3 Würfel an der sichtbaren Frontseite und können davon ausgehen, dass darunter eine weitere Reihe mit 2 Würfeln ist, da die Mauer ebenfalls nach hinten abnimmt. Das gibt insgesamt 5 Würfel \( (3 + 2) \) für Mauer B. Jetzt setzen wir n = 4 für Mauer A und n = 2 für Mauer B ein, um zu prüfen, welcher Term die korrekte Anzahl liefert: Für Milena: - Mauer A \( (n = 4) \): \( 2 \times 4 + 1 = 9 \) - Mauer B \( (n = 2) \): \( 2 \times 2 + 1 = 5 \) Für Kevin: - Mauer A \( (n = 4) \): \( 3 \times 4 - 1 = 11 \) - Mauer B \( (n = 2) \): \( 3 \times 2 - 1 = 5 \) Milena’s Term liefert die richtige Anzahl für Mauer A, während Kevins Term nicht korrekt ist. Auch für Mauer B liefert Milena’s Term die richtige Anzahl, während Kevins Term hier ebenfalls korrekt ist. Daher ist Milenas Term für beide gezeigten Mauern korrekt. Nun zu der Frage, wer winselt: Wenn wir die Form jeder Mauer betrachten, sehen wir, dass jede nächste Ebene immer einen Würfel weniger hat als die darunterliegende. Das bedeutet, wenn eine Mauer aus \( n \) Ebenen besteht, hat die oberste Ebene \( n \) Würfel, die nächste \( n - 1 \), dann \( n - 2 \), und so weiter, bis zur letzten Ebene mit einem Würfel. Milenas Term \( 2 \times n + 1 \) beschreibt genau diese Anordnung, da die Anzahl der Würfel in aufeinanderfolgenden Ebenen um 1 abnimmt und dann ein Würfel in der obersten Ebene dazugerechnet wird. Zusammengefasst liefert Milenas Term die korrekte Beschreibung für die Anzahl der Würfel in Mauern der dargestellten Art. Kevins Term ist nicht korrekt, weil er bei Mauer A zu viele Würfel ergibt.
Understanding Cube Patterns in Geometric Figures
Diese Aufgabe befasst sich mit Mustern und algebraischen Ausdrücken, um die Anzahl der Würfel in geometrischen Figuren zu beschreiben. Milena und Kevin haben unterschiedliche Formeln zur Beschreibung der Anzahl der Würfel in den Mauern entwickelt. Die Formel, die Milena vorschlägt, ist: Anzahl der Würfel = 2 * (x + k + 1) Die Formel von Kevin ist: Anzahl der Würfel = 3 * (x + 1) "Wer hat wie überlegt?" bezieht sich darauf, welche Überlegungen Milena und Kevin angestellt haben könnten, um auf ihre Formeln zu kommen. Zur Beantwortung der Frage A müssen wir jedoch zuerst verstehen, was "x" und "k" in den Formeln repräsentieren. Das "x" in beiden Formeln scheint die Anzahl der sichtbaren horizontalen Würfel auf der Vorderseite der Mauer zu bezeichnen, während "k" in Milenas Formel offenbar für die Anzahl der Schichten oben auf der Mauer steht. Wir analysieren nun die beiden Mauern A und B, indem wir die sichtbaren Würfel auf der Vorderseite zählen und die Formeln von Milena und Kevin verwenden, um herauszufinden, wer den richtigen Ansatz hat. Für die Mauer A sehen wir: - 4 Würfel in der untersten Reihe auf der Vorderseite (x = 4) - 1 Schicht oben auf der Mauer (k = 1) Anwendung von Milenas Formel (mit den sichtbaren Würfeln auf der Vorderseite plus der Schicht oben): 2 * (x + k + 1) = 2 * (4 + 1 + 1) = 2 * 6 = 12 Anwendung von Kevins Formel: 3 * (x + 1) = 3 * (4 + 1) = 3 * 5 = 15 Für die Mauer B sehen wir: - 5 Würfel in der untersten Reihe auf der Vorderseite (x = 5) - 0 Schichten oben auf der Mauer (k = 0) Anwendung von Milenas Formel: 2 * (x + k + 1) = 2 * (5 + 0 + 1) = 2 * 6 = 12 Anwendung von Kevins Formel: 3 * (x + 1) = 3 * (5 + 1) = 3 * 6 = 18 Nun schauen wir uns die Mauern an und zählen die tatsächliche Anzahl der Würfel. Für Mauer A: Die tatsächliche Anzahl der Würfel ist 15 (12 gelbe und 3 rote). Für Mauer B: Die tatsächliche Anzahl der Würfel ist 18 (15 gelbe und 3 rote). Durch den visuellen Vergleich und das Zählen erkennen wir, dass Kevins Formel die korrekte ist, da sie die tatsächliche Anzahl der Würfel für beide Mauern korrekt beschreibt. Milena hat die Anzahl der Würfel unterschätzt, da sie nicht alle Würfel auf der Rückseite der Mauer in ihre Berechnung einbezieht. Kevin hingegen hat wahrscheinlich bemerkt, dass jede Reihe einen zusätzlichen Würfel hat, der nicht sichtbar ist, deshalb multipliziert er die Anzahl der sichtbaren Würfel an der Vorderseite plus eins mit drei, um die Gesamtanzahl der Würfel zu bestimmen. Frage B stellt sicher, dass die Schüler überprüfen, ob die Formeln für beliebig lange Mauern gelten. Kevins Formel ist korrekt für Mauern jeder Länge, weil sie jeden horizontalen Würfel auf der Vorderseite, jeden verdeckten Würfel auf der Rückseite und jeden Würfel in der obersten Reihe mit einschließt.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com