Question - Analyzing Proposed Terms for Counting Cubes in Walls
Solution:
In dieser Aufgabe geht es darum, die von Milena und Kevin vorgeschlagenen Terme zu analysieren und zu bestimmen, welcher der Terme die Anzahl der Würfel in den Mauern korrekt beschreibt.Die Terme sind:- Milena: $$ 2 \times n + 1 $$- Kevin: $$ 3 \times n - 1 $$Zuerst soll festgestellt werden, wer von den beiden recht hat. Dazu betrachten wir die gezeigten Mauern:Für Mauer A sehen wir 5 Würfel an der sichtbaren Frontseite und können davon ausgehen, dass darunter eine weitere Reihe mit 4 Würfeln ist, da man sieht, dass die Mauer nach hinten weniger Würfel hat als an der Vorderseite. Das gibt insgesamt 9 Würfel $$ (5 + 4) $$ für Mauer A.Für Mauer B sehen wir 3 Würfel an der sichtbaren Frontseite und können davon ausgehen, dass darunter eine weitere Reihe mit 2 Würfeln ist, da die Mauer ebenfalls nach hinten abnimmt. Das gibt insgesamt 5 Würfel $$ (3 + 2) $$ für Mauer B.Jetzt setzen wir n = 4 für Mauer A und n = 2 für Mauer B ein, um zu prüfen, welcher Term die korrekte Anzahl liefert:Für Milena:- Mauer A $$ (n = 4) $$: $$ 2 \times 4 + 1 = 9 $$- Mauer B $$ (n = 2) $$: $$ 2 \times 2 + 1 = 5 $$Für Kevin:- Mauer A $$ (n = 4) $$: $$ 3 \times 4 - 1 = 11 $$- Mauer B $$ (n = 2) $$: $$ 3 \times 2 - 1 = 5 $$Milena’s Term liefert die richtige Anzahl für Mauer A, während Kevins Term nicht korrekt ist. Auch für Mauer B liefert Milena’s Term die richtige Anzahl, während Kevins Term hier ebenfalls korrekt ist. Daher ist Milenas Term für beide gezeigten Mauern korrekt.Nun zu der Frage, wer winselt:Wenn wir die Form jeder Mauer betrachten, sehen wir, dass jede nächste Ebene immer einen Würfel weniger hat als die darunterliegende. Das bedeutet, wenn eine Mauer aus $$ n $$ Ebenen besteht, hat die oberste Ebene $$ n $$ Würfel, die nächste $$ n - 1 $$, dann $$ n - 2 $$, und so weiter, bis zur letzten Ebene mit einem Würfel. Milenas Term $$ 2 \times n + 1 $$ beschreibt genau diese Anordnung, da die Anzahl der Würfel in aufeinanderfolgenden Ebenen um 1 abnimmt und dann ein Würfel in der obersten Ebene dazugerechnet wird.Zusammengefasst liefert Milenas Term die korrekte Beschreibung für die Anzahl der Würfel in Mauern der dargestellten Art. Kevins Term ist nicht korrekt, weil er bei Mauer A zu viele Würfel ergibt.
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