Example Question - summation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Summation of a Series of Squared Terms
<p>La expresión dada es una suma de términos al cuadrado, la cual se representa matemáticamente con el símbolo de sumatoria \(\Sigma\).</p> <p>Para resolver la suma, simplemente elevamos al cuadrado cada número del 1 al 3 y sumamos los resultados:</p> <p>\(\sum_{i=1}^{3} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2\)</p> <p>\(= 1 + 4 + 9\)</p> <p>\(= 14\)</p> <p>Por lo tanto, el resultado de la suma de los términos al cuadrado desde \(i=1\) hasta \(i=3\) es \(14\).</p>
Summation of a Linear Expression
<p>El problema presenta una suma desde \(i=0\) hasta \(i=1\) de la expresión \(2+i\).</p> <p>Para resolver la suma, simplemente evaluamos la expresión dentro del sumatorio para \(i=0\) y luego para \(i=1\), y sumamos los resultados:</p> <p>Para \(i=0\): \(2+0=2\)</p> <p>Para \(i=1\): \(2+1=3\)</p> <p>Sumamos los dos resultados: \(2+3=5\)</p> <p>Por lo tanto, el resultado de la expresión dada es \(5\).</p>
Calculating the Sum of Squared Fractions
<p>لحل المسألة المطروحة، نحتاج إلى حساب مجموع المربعات للكسور من 1/10 إلى 21/10. يُمكن حسابها من خلال الصيغة التالية:</p> <p>\[ \sum_{i=1}^{21} \left(\frac{i}{10}\right)^2 \]</p> <p>نبدأ بتوسيع المعادلة:</p> <p>\[ \sum_{i=1}^{21} \left(\frac{i^2}{100}\right) = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{21} i^2 \]</p> <p>لحساب مجموع مربعات الأعداد الطبيعية، نستخدم الصيغة:</p> <p>\[ \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \]</p> <p>نطبق هذه الصيغة على مجموع مربعات الأعداد حتى 21:</p> <p>\[ \frac{1}{100} \cdot \frac{21 \cdot 22 \cdot 43}{6} \]</p> <p>نقوم بالتبسيط:</p> <p>\[ = \frac{21 \cdot 22 \cdot 43}{600} \]</p> <p>نقوم الآن بضرب الأعداد في البسط وتقسيم النتيجة على المقام:</p> <p>\[ = \frac{21 \cdot 22 \cdot 43}{600} = \frac{19866}{600} = 33.11 \]</p> <p>بالتالي، النتيجة تساوي 33.11.</p>
Summation of a Polynomial Sequence
<p>\[ \sum_{i=3}^{6} (8i^2 + i) = (8(3)^2 + 3) + (8(4)^2 + 4) + (8(5)^2 + 5) + (8(6)^2 + 6) \]</p> <p>\[ = (72 + 3) + (128 + 4) + (200 + 5) + (288 + 6) \]</p> <p>\[ = 75 + 132 + 205 + 294 \]</p> <p>\[ = 606 + 294 \]</p> <p>\[ = 900 \]</p>
Summation of a Sequence of Fractions
Trong hình ảnh bạn cung cấp, có hai phần nhiệm vụ khác nhau và tôi sẽ giải quyết phần thứ nhất: Công thức cho dãy số \( S \) như sau: \[ S = \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + \frac{2}{7.9} + \cdots + \frac{2}{97.99} \] Chúng ta có thể thấy rằng mỗi phần của tổng đều có dạng \( \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} \), với \( n = 2, 3, 4, \ldots, 49 \). Để tính tổng này, chúng ta sử dụng phương pháp phân tích mỗi số hạng thành hiệu của hai phân số: \[ \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1} \] Tìm \( A \) và \( B \) bằng cách đặt mẫu số chung và so sánh tử số: \[ 2 = A(2n+1) + B(2n-1) \] Đặt \( n = 1 \), chúng ta có \( 2 = A \times 3 + B \times 1 \), có nghĩa là \( A = \frac{2}{3} \), \( B = -\frac{2}{3} \). Bằng cách thay các giá trị này trở lại vào phần tổng ban đầu và thực hiện phép cộng theo dãy số, chúng ta thấy rằng nhiều số hạng sẽ triệt tiêu lẫn nhau: \[ S = \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{5} \right) + \left( \frac{2}{5} - \frac{2}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{2}{97} - \frac{2}{99} \right) \] Tương tự như phân số chung, tử số của các phần sau sẽ huỷ lẫn nhau và chỉ còn lại hai phần đầu và cuối: \[ S = \left( \frac{2}{3} \right) - \left( \frac{2}{99} \right) \] \[ S = \frac{2 \times 33 - 2}{99} \] \[ S = \frac{66 - 2}{99} \] \[ S = \frac{64}{99} \] Như vậy, tổng \( S \) của dãy số là \(\frac{64}{99}\).
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com