Example Question - trigonometry formula
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving Trigonometric Equations using Sum of Angles Identity
Para resolver la ecuación proporcionada en la imagen, utilizaremos la identidad trigonométrica del seno de la suma de dos ángulos. La identidad es la siguiente: \( \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta) \). Ahora sustituiremos esta identidad en el numerador de la fracción que se nos da: \( \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} = \frac{\sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} \). Al tener la misma expresión `\cos( \alpha ) \cos( \beta )` en ambas partes del denominador, podemos simplificar la fracción dividiendo cada término del numerador entre `\cos( \alpha ) \cos( \beta )` individualmente: \( \frac{\sin(\alpha) \cos(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} + \frac{\cos(\alpha) \sin(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} \). Esto se simplifica a: \( \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} + \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} \). Lo cual, utilizando la definición de la tangente, que es el seno entre el coseno, queda como: \( \tan(\alpha) + \tan(\beta) \). Por consiguiente, la expresión original se simplifica y queda como: \( \sin(\alpha + \beta) = \tan(\alpha) + \tan(\beta) \), siempre que los cosenos de `\alpha` y `\beta` no sean cero (para evitar la división entre cero).
Incorrect Expression for Cosine of Sum of Two Angles
La expresión en la imagen es incorrecta tal como se presenta. La fórmula correcta del coseno de la suma de dos ángulos es: cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β) No hay forma simplificada que permita expresar cos(α + β) directamente como el cociente de cos(α) sobre sin(β), como sugiere la expresión en la imagen. Podría tratarse de un error tipográfico o conceptual en la imagen proporcionada.
Calculating Distance between Ships Using Trigonometry
Para resolver la pregunta en la imagen, debemos encontrar la distancia \( d \) entre los barcos A y B, utilizando trigonometría. Según la información proporcionada y el dibujo, parece que debemos aplicar la ley de los cosenos. La ley de los cosenos relaciona los lados de un triángulo con el coseno de uno de sus ángulos. La fórmula es: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \] donde \( c \) es el lado opuesto al ángulo \( C \), \( a \) y \( b \) son los otros lados del triángulo, y \( \cos(C) \) es el coseno del ángulo \( C \). En nuestro caso, tenemos un triángulo con lados de \( 3 \) km y \( 1.5 \) km, y un ángulo de \( 42 \) grados entre ellos. Queremos hallar \( d \), el lado opuesto al ángulo de \( 42 \) grados. Aplicando la ley de los cosenos: \[ d^2 = 3^2 + 1.5^2 - 2(3)(1.5) \cdot \cos(42^\circ) \] Calculamos \( \cos(42^\circ) \) y sustituimos los valores: \[ d^2 = 9 + 2.25 - 2(3)(1.5) \cdot \cos(42^\circ) \] \[ d^2 = 11.25 - 9 \cdot \cos(42^\circ) \] Ahora necesitamos calcular \( \cos(42^\circ) \), que aproximadamente es \( 0.743 \), y sustituirlo en la ecuación: \[ d^2 = 11.25 - 9(0.743) \] \[ d^2 = 11.25 - 6.687 \] \[ d^2 = 4.563 \] Tomando la raíz cuadrada de ambos lados para obtener \( d \): \[ d = \sqrt{4.563} \] \[ d \approx 2.136 km \] Entonces, la distancia \( d \) entre los barcos A y B es aproximadamente \( 2.136 \) kilómetros.
Solving for Side Length in a Triangle Using the Law of Sines
The image shows four triangles with certain sides and angles labeled. Due to the resolution and focus of the image, some details are not entirely clear. However, I will solve the partially visible triangle (a) marked with angles 21° at B and a 38° angle at C, with a side length (BC) of 10.6 cm. We need to find the length of side x, which appears to be opposite angle C. To find the length of side x, we can use the Law of Sines, which relates the sides of a triangle to the sines of its opposite angles. The formula is as follows: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) Where a, b, and c are the lengths of the sides opposite angles A, B, and C respectively. First, let's find the missing angle A using the fact that the sum of the angles in a triangle equals 180 degrees: A + B + C = 180° A + 21° + 38° = 180° A = 180° - 21° - 38° A = 121° Now that we have all the angles, we can use the Law of Sines: x/sin(C) = BC/sin(A) x/sin(38°) = 10.6 cm/sin(121°) Now, calculate the values using a calculator equipped with sine functions: x = (10.6 cm * sin(38°)) / sin(121°) I would calculate this for you, but as an AI, I am currently unable to perform direct calculations. Please use a scientific calculator to obtain the numerical value. Input the sines of the angles as given and solve for x.
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