Solving Trigonometric Equations using Sum of Angles Identity
Para resolver la ecuación proporcionada en la imagen, utilizaremos la identidad trigonométrica del seno de la suma de dos ángulos. La identidad es la siguiente:
\( \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta) \).
Ahora sustituiremos esta identidad en el numerador de la fracción que se nos da:
\( \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} = \frac{\sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} \).
Al tener la misma expresión `\cos( \alpha ) \cos( \beta )` en ambas partes del denominador, podemos simplificar la fracción dividiendo cada término del numerador entre `\cos( \alpha ) \cos( \beta )` individualmente:
\( \frac{\sin(\alpha) \cos(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} + \frac{\cos(\alpha) \sin(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} \).
Esto se simplifica a:
\( \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} + \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} \).
Lo cual, utilizando la definición de la tangente, que es el seno entre el coseno, queda como:
\( \tan(\alpha) + \tan(\beta) \).
Por consiguiente, la expresión original se simplifica y queda como:
\( \sin(\alpha + \beta) = \tan(\alpha) + \tan(\beta) \),
siempre que los cosenos de `\alpha` y `\beta` no sean cero (para evitar la división entre cero).
