Solving System of Linear Equations by Elimination and Substitution
Vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales dado por eliminación o sustitución. El sistema está dado por:
\( x_1 + 4x_2 - 2x_3 + 8x_4 = 12 \)
\( x_2 - 7x_3 + 2x_4 = -4 \)
\( 5x_3 - x_4 = 7 \)
\( x_3 + 3x_4 = -5 \)
Primero, podemos resolver las últimas dos ecuaciones para encontrar \(x_3\) y \(x_4\) dado que son más simples y solo contienen dos incógnitas.
Empecemos con la tercera y la cuarta ecuación:
\( 5x_3 - x_4 = 7 \)
\( x_3 + 3x_4 = -5 \)
Multiplicamos la cuarta ecuación por 5 y la sumamos con la tercera para eliminar \(x_3\):
\( 5(x_3 + 3x_4) = 5(-5) \)
\( 5x_3 + 15x_4 = -25 \)
Ahora sumamos esto a la tercera ecuación:
\( 5x_3 + 15x_4 + 5x_3 - x_4 = 7 - 25 \)
\( 10x_3 + 14x_4 = -18 \)
Dividimos todo entre 2 para simplificar:
\( 5x_3 + 7x_4 = -9 \)
Ahora tenemos un sistema simplificado con las ecuaciones:
\( 5x_3 - x_4 = 7 \)
\( 5x_3 + 7x_4 = -9 \)
Restamos la primera ecuación de la segunda para eliminar \(x_3\):
\( (5x_3 + 7x_4) - (5x_3 - x_4) = -9 - 7 \)
\( 8x_4 = -16 \)
Dividimos ambos lados entre 8:
\( x_4 = -2 \)
Ahora, podemos sustituir \(x_4\) en la ecuación \( 5x_3 - x_4 = 7 \) para encontrar \(x_3\):
\( 5x_3 - (-2) = 7 \)
\( 5x_3 + 2 = 7 \)
\( 5x_3 = 5 \)
Dividimos ambos lados entre 5:
\( x_3 = 1 \)
Con \(x_3 = 1\) y \(x_4 = -2\), podemos ahora sustituir estos valores en las primeras dos ecuaciones del sistema original para obtener \(x_1\) y \(x_2\).
Tomemos la primera ecuación:
\( x_1 + 4x_2 - 2(1) + 8(-2) = 12 \)
\( x_1 + 4x_2 - 2 - 16 = 12 \)
\( x_1 + 4x_2 = 30 \)
La segunda ecuación:
\( x_2 - 7(1) + 2(-2) = -4 \)
\( x_2 - 7 - 4 = -4 \)
\( x_2 = -4 + 11 \)
\( x_2 = 7 \)
Finalmente, sustituimos \(x_2 = 7\) en la ecuación para encontrar \(x_1\):
\( x_1 + 4(7) = 30 \)
\( x_1 + 28 = 30 \)
\( x_1 = 30 - 28 \)
\( x_1 = 2 \)
Por lo tanto, la solución del sistema es:
\( x_1 = 2 \)
\( x_2 = 7 \)
\( x_3 = 1 \)
\( x_4 = -2 \)
