Question - Solving Math Expression and Finding Minimum Value
Solution:
Dựa vào hình ảnh bạn cung cấp, chúng ta cần làm hai bước:a) Rút gọn biểu thức $$ M $$b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $$ M $$.Đầu tiên, chúng ta sẽ thực hiện rút gọn $$ M $$:$$ M = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}} + \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}} - \frac{4}{1-\sqrt{x}} $$Để rút gọn, ta nhân tử liên hợp cho mỗi phân thức:- Phân thức thứ nhất và thứ hai:\[ \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}} \times \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}}{x - (x-1)} = \sqrt{x} - \sqrt{x-1} \]\[ \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}} \times \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}}{x - (x-1)} = \sqrt{x} + \sqrt{x-1} \]- Phân thức thứ ba, nhân với tử liên hợp:\[ \frac{4}{1-\sqrt{x}} \times \frac{1+\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} = \frac{4(1+\sqrt{x})}{1 - x} \]Khi đó, $$ M $$ được rút gọn thành:\[ M = (\sqrt{x} - \sqrt{x-1}) + (\sqrt{x} + \sqrt{x-1}) - \frac{4(1+\sqrt{x})}{1 - x} \]Kết quả của hai phân thức đầu là $$ 2\sqrt{x} $$, ta được:\[ M = 2\sqrt{x} - \frac{4(1+\sqrt{x})}{1 - x} \]Giờ, ta đưa về cùng mẫu số:\[ M = \frac{2\sqrt{x}(1-x) - 4(1+\sqrt{x})}{1 - x} \]Đi tiếp, ta giản ước:\[ M = \frac{-2\sqrt{x} + 2x - 4 - 4\sqrt{x}}{1-x} \]Đặt $$ \sqrt{x} = t $$ (Với $$ x \geq 0 $$), ta có $$ x = t^2 $$, và $$ M $$ trở thành:\[ M = \frac{-2t + 2t^2 - 4 - 4t}{1-t^2} \]\[ M = \frac{2t^2 - 6t - 4}{1-t^2} \]\[ M = \frac{2(t^2 - 3t - 2)}{- (t-1)(t+1)} \]\[ M = \frac{-2(t+1)(t-2)}{(t-1)(t+1)} \]\[ M = \frac{-2(t-2)}{(t-1)} \]\[ M = 2 - \frac{4}{t-1} \]Với $$ t = \sqrt{x} $$.b) Giờ đây, để tìm giá trị nhỏ nhất của $$ M $$, ta cần chú ý rằng mẫu số $$ t - 1 $$ phải luôn dương do $$ x $$ lớn hơn 1 nên $$ t = \sqrt{x} > 1 $$.Do đó, $$ -4/(t-1) $$ sẽ đạt giá trị lớn nhất khi $$ t - 1 $$ nhỏ nhất (nhưng vẫn dương), tức là khi $$ t $$ gần 1 nhất. Vì vậy, $$ M $$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $$ t $$ càng gần với 1 từ bên phải. Tuy nhiên, $$ M $$ không có giá trị nhỏ nhất bởi vì khi $$ t $$ tiến về 1 thì $$ -4/(t-1) $$ sẽ tiến về âm vô cùng.Như vậy, theo phần a), ta có rút gọn được $$ M $$ và theo phần b), $$ M $$ không có giá trị nhỏ nhất.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com