Solving Math Expression and Finding Minimum Value
Dựa vào hình ảnh bạn cung cấp, chúng ta cần làm hai bước:
a) Rút gọn biểu thức \( M \)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( M \).
Đầu tiên, chúng ta sẽ thực hiện rút gọn \( M \):
\( M = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}} + \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}} - \frac{4}{1-\sqrt{x}} \)
Để rút gọn, ta nhân tử liên hợp cho mỗi phân thức:
- Phân thức thứ nhất và thứ hai:
\[ \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}} \times \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}}{x - (x-1)} = \sqrt{x} - \sqrt{x-1} \]
\[ \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}} \times \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}}{x - (x-1)} = \sqrt{x} + \sqrt{x-1} \]
- Phân thức thứ ba, nhân với tử liên hợp:
\[ \frac{4}{1-\sqrt{x}} \times \frac{1+\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} = \frac{4(1+\sqrt{x})}{1 - x} \]
Khi đó, \( M \) được rút gọn thành:
\[ M = (\sqrt{x} - \sqrt{x-1}) + (\sqrt{x} + \sqrt{x-1}) - \frac{4(1+\sqrt{x})}{1 - x} \]
Kết quả của hai phân thức đầu là \( 2\sqrt{x} \), ta được:
\[ M = 2\sqrt{x} - \frac{4(1+\sqrt{x})}{1 - x} \]
Giờ, ta đưa về cùng mẫu số:
\[ M = \frac{2\sqrt{x}(1-x) - 4(1+\sqrt{x})}{1 - x} \]
Đi tiếp, ta giản ước:
\[ M = \frac{-2\sqrt{x} + 2x - 4 - 4\sqrt{x}}{1-x} \]
Đặt \( \sqrt{x} = t \) (Với \( x \geq 0 \)), ta có \( x = t^2 \), và \( M \) trở thành:
\[ M = \frac{-2t + 2t^2 - 4 - 4t}{1-t^2} \]
\[ M = \frac{2t^2 - 6t - 4}{1-t^2} \]
\[ M = \frac{2(t^2 - 3t - 2)}{- (t-1)(t+1)} \]
\[ M = \frac{-2(t+1)(t-2)}{(t-1)(t+1)} \]
\[ M = \frac{-2(t-2)}{(t-1)} \]
\[ M = 2 - \frac{4}{t-1} \]
Với \( t = \sqrt{x} \).
b) Giờ đây, để tìm giá trị nhỏ nhất của \( M \), ta cần chú ý rằng mẫu số \( t - 1 \) phải luôn dương do \( x \) lớn hơn 1 nên \( t = \sqrt{x} > 1 \).
Do đó, \( -4/(t-1) \) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi \( t - 1 \) nhỏ nhất (nhưng vẫn dương), tức là khi \( t \) gần 1 nhất. Vì vậy, \( M \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( t \) càng gần với 1 từ bên phải.
Tuy nhiên, \( M \) không có giá trị nhỏ nhất bởi vì khi \( t \) tiến về 1 thì \( -4/(t-1) \) sẽ tiến về âm vô cùng.
Như vậy, theo phần a), ta có rút gọn được \( M \) và theo phần b), \( M \) không có giá trị nhỏ nhất.
