Question - Solving Complex Number Division and Identifying Imaginary Part
Solution:
Para resolver este problema necesitamos simplificar la expresión compleja y luego identificar la parte imaginaria del resultado. La expresión dada es:\[ z = \frac{3+i}{2-i} \]Para eliminar el número complejo del denominador, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de un número complejo $$ a + bi $$ es $$ a - bi $$. Por lo tanto, el conjugado de $$ 2 - i $$ es $$ 2 + i $$.Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por $$ 2 + i $$:\[ z = \frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} \]Expandimos ambos el numerador y el denominador:\[ z = \frac{6 + 3i + 2i + i^2}{4 + 2i - 2i - i^2} \]Recordamos que $$ i^2 = -1 $$, entonces simplificamos:\[ z = \frac{6 + 5i - 1}{4 - (-1)} \]\[ z = \frac{5 + 5i}{5} \]Ahora, dividimos tanto la parte real como la parte imaginaria entre 5:\[ z = 1 + i \]La parte imaginaria de $$ z $$ es el coeficiente de $$ i $$, que en este caso es 1.Por lo tanto, la parte imaginaria del número complejo $$ z $$ es 1.
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