Example Question - conjugate multiplication
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Solving Complex Number Division and Identifying Imaginary Part
Para resolver este problema necesitamos simplificar la expresión compleja y luego identificar la parte imaginaria del resultado. La expresión dada es: \[ z = \frac{3+i}{2-i} \] Para eliminar el número complejo del denominador, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de un número complejo \( a + bi \) es \( a - bi \). Por lo tanto, el conjugado de \( 2 - i \) es \( 2 + i \). Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por \( 2 + i \): \[ z = \frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} \] Expandimos ambos el numerador y el denominador: \[ z = \frac{6 + 3i + 2i + i^2}{4 + 2i - 2i - i^2} \] Recordamos que \( i^2 = -1 \), entonces simplificamos: \[ z = \frac{6 + 5i - 1}{4 - (-1)} \] \[ z = \frac{5 + 5i}{5} \] Ahora, dividimos tanto la parte real como la parte imaginaria entre 5: \[ z = 1 + i \] La parte imaginaria de \( z \) es el coeficiente de \( i \), que en este caso es 1. Por lo tanto, la parte imaginaria del número complejo \( z \) es 1.
Complex Number Division and Its Parts
The problem asks for the real and imaginary parts of the complex number \(\frac{z_1}{z_2}\), where \(z_1 = x + 4j\) and \(z_2 = x + 2j\). To find \(\frac{z_1}{z_2}\), you can divide \(z_1\) by \(z_2\). Here's how you do it: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{x + 4j}{x + 2j} \] To divide two complex numbers, you can multiply the numerator and the denominator by the conjugate of the denominator: \[ \frac{x + 4j}{x + 2j} \cdot \frac{x - 2j}{x - 2j} = \frac{(x + 4j)(x - 2j)}{x^2 - (2j)^2} \] Computing the products in the numerator and simplifying the denominator (using \(j^2 = -1\)): \[ \frac{x^2 - 2jx + 4xj - 8j^2}{x^2 - 4j^2} = \frac{x^2 + 2xj - 8(-1)}{x^2 - 4(-1)} \] Simplify further: \[ \frac{x^2 + 2xj + 8}{x^2 + 4} \] Now you have the complex number in fractional form. Let's separate it into real and imaginary parts: The real part is: \[ \frac{x^2 + 8}{x^2 + 4} \] The imaginary part is: \[ \frac{2xj}{x^2 + 4} \] Hence, the real part of \(\frac{z_1}{z_2}\) is \(\frac{x^2 + 8}{x^2 + 4}\) and the imaginary part is \(\frac{2x}{x^2 + 4}j\).
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