Example Question - imaginary part
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving Complex Number Division and Identifying Imaginary Part
Para resolver este problema necesitamos simplificar la expresión compleja y luego identificar la parte imaginaria del resultado. La expresión dada es: \[ z = \frac{3+i}{2-i} \] Para eliminar el número complejo del denominador, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de un número complejo \( a + bi \) es \( a - bi \). Por lo tanto, el conjugado de \( 2 - i \) es \( 2 + i \). Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por \( 2 + i \): \[ z = \frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} \] Expandimos ambos el numerador y el denominador: \[ z = \frac{6 + 3i + 2i + i^2}{4 + 2i - 2i - i^2} \] Recordamos que \( i^2 = -1 \), entonces simplificamos: \[ z = \frac{6 + 5i - 1}{4 - (-1)} \] \[ z = \frac{5 + 5i}{5} \] Ahora, dividimos tanto la parte real como la parte imaginaria entre 5: \[ z = 1 + i \] La parte imaginaria de \( z \) es el coeficiente de \( i \), que en este caso es 1. Por lo tanto, la parte imaginaria del número complejo \( z \) es 1.
Solving a Complex Fraction to Standard Form
The provided expression is a complex fraction: \[ \frac{8 - i}{3 - 2i} \] To write this in the standard form \( a + bi \), where \( a \) and \( b \) are real numbers, you must remove the imaginary part from the denominator. You can do this by multiplying both the numerator and the denominator by the complex conjugate of the denominator. The complex conjugate of \(3 - 2i\) is \(3 + 2i\). Multiplying the numerator and the denominator by \(3 + 2i\) gives us: \[ \frac{8 - i}{3 - 2i} \times \frac{3 + 2i}{3 + 2i} \] This multiplication will give us: \[ \frac{(8 - i)(3 + 2i)}{(3 - 2i)(3 + 2i)} \] Expand the numerator and the denominator: \[ \frac{24 + 16i - 3i - 2i^2}{9 - 6i + 6i - 4i^2} \] Since \(i^2 = -1\), this simplifies to: \[ \frac{24 + 13i - 2(-1)}{9 - 4(-1)} \] \[ \frac{24 + 13i + 2}{9 + 4} \] \[ \frac{26 + 13i}{13} \] \[ 2 + i \] So in the form \( a + bi \), \( a = 2 \) and \( b = 1 \). Therefore, the value of \( a \) is 2, which corresponds to option A.
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