Solving Complex Number Division and Identifying Imaginary Part
Para resolver este problema necesitamos simplificar la expresión compleja y luego identificar la parte imaginaria del resultado. La expresión dada es:
\[ z = \frac{3+i}{2-i} \]
Para eliminar el número complejo del denominador, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de un número complejo \( a + bi \) es \( a - bi \). Por lo tanto, el conjugado de \( 2 - i \) es \( 2 + i \).
Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por \( 2 + i \):
\[ z = \frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} \]
Expandimos ambos el numerador y el denominador:
\[ z = \frac{6 + 3i + 2i + i^2}{4 + 2i - 2i - i^2} \]
Recordamos que \( i^2 = -1 \), entonces simplificamos:
\[ z = \frac{6 + 5i - 1}{4 - (-1)} \]
\[ z = \frac{5 + 5i}{5} \]
Ahora, dividimos tanto la parte real como la parte imaginaria entre 5:
\[ z = 1 + i \]
La parte imaginaria de \( z \) es el coeficiente de \( i \), que en este caso es 1.
Por lo tanto, la parte imaginaria del número complejo \( z \) es 1.
