Solving a Trigonometric Expression Using Angle Sum Identities
La expresión dada en la imagen es:
\[ \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha) \sin(\beta)} \]
Para resolver esta expresión, podemos usar las identidades trigonométricas del coseno del ángulo suma. La fórmula para el coseno de la suma de dos ángulos es la siguiente:
\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) \]
Sustituimos esta fórmula en el numerador de la expresión original:
\[ \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha) \sin(\beta)} = \frac{\cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha) \sin(\beta)} \]
Ahora podemos separar la fracción en dos términos:
\[ = \frac{\cos(\alpha)\cos(\beta)}{\cos(\alpha)\sin(\beta)} - \frac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\sin(\beta)} \]
En el primer término, \(\cos(\alpha)\) se cancela en el numerador y en el denominador, lo que nos deja con:
\[ = \frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)} - \frac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\sin(\beta)} \]
El primer término es simplemente la cotangente de \(\beta\), y en el segundo término, \(\sin(\beta)\) se cancela:
\[ = \cot(\beta) - \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \]
El segundo término es la tangente de \(\alpha\), pero como está en el denominador, se convierte en la cotangente de \(\alpha\). Por lo tanto, la expresión final es:
\[ = \cot(\beta) - \tan(\alpha) \]
O lo que es lo mismo, pero usando la notación de cotangente:
\[ = \cot(\beta) - \cot(\beta)^{-1} \]
