Solving a System of Linear Equations with 4 Variables
Claro, vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales dado en la imagen. Tenemos un sistema con 4 ecuaciones y 4 incógnitas, que se ve así:
1) \( x_1 + 4x_2 - 2x_3 + 8x_4 = 12 \)
2) \( x_2 - 7x_3 + 2x_4 = -4 \)
3) \( 5x_3 - x_4 = 7 \)
4) \( x_1 + 3x_2 + x_3 + 5x_4 = 6 \)
Para resolver este sistema podemos usar el método de eliminación o sustitución, pero parece que el sistema de ecuaciones ya está parcialmente en forma escalonada, así que vamos a intentar resolverlo mediante sustitución o eliminación progresiva.
Empezamos por la tercera ecuación, ya que tiene solo dos incógnitas:
\( 5x_3 - x_4 = 7 \)
Podemos despejar \( x_3 \) en términos de \( x_4 \):
\( 5x_3 = 7 + x_4 \)
\( x_3 = \frac{7 + x_4}{5} \)
Ahora sustituimos \( x_3 \) en la segunda ecuación:
\( x_2 - 7(\frac{7 + x_4}{5}) + 2x_4 = -4 \)
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 5 para eliminar el denominador:
\( 5x_2 - 49 - 7x_4 + 10x_4 = -20 \)
\( 5x_2 + 3x_4 = -20 + 49 \)
\( 5x_2 + 3x_4 = 29 \)
Despejamos \( x_2 \) en términos de \( x_4 \):
\( 5x_2 = 29 - 3x_4 \)
\( x_2 = \frac{29 - 3x_4}{5} \)
Ahora sustituimos \( x_2 \) y \( x_3 \) en la primera ecuación:
\( x_1 + 4(\frac{29 - 3x_4}{5}) - 2(\frac{7 + x_4}{5}) + 8x_4 = 12 \)
Simplificamos y resolvemos para \( x_1 \):
\( x_1 + \frac{116 - 12x_4}{5} - \frac{14 + 2x_4}{5} + 8x_4 = 12 \)
\( x_1 + \frac{116 - 12x_4 - 14 - 2x_4}{5} + 8x_4 = 12 \)
\( x_1 + \frac{102 - 14x_4}{5} + 8x_4 = 12 \)
Multiplica ambos lados por 5 para deshacerte del denominador:
\( 5x_1 + 102 - 14x_4 + 40x_4 = 60 \)
\( 5x_1 + 26x_4 = -42 \)
Despejamos \( x_1 \) en términos de \( x_4 \):
\( 5x_1 = -42 - 26x_4 \)
\( x_1 = \frac{-42 - 26x_4}{5} \)
Finalmente, tenemos \( x_1, x_2, \) y \( x_3 \) en términos de \( x_4.\) Podemos utilizar la cuarta ecuación para encontrar una relación entre \( x_4 \) y las demás variables, pero a partir de aquí, hemos reducido el problema de cuatro variables a una variable. Sin un valor específico para \( x_4 \), no podemos encontrar una única solución al sistema; necesitaríamos más información o restricciones adicionales. Este es un sistema indeterminado o dependiente donde existen infinitas soluciones que dependen del valor que se asigne a la variable libre, en este caso \( x_4 \). Podrías elegir un valor para \( x_4 \) y luego encontrar \( x_1, \) \( x_2, \) y \( x_3 \) correspondientes a ese valor específico.
