Solving a System of Linear Equations using Elimination and Substitution
Claro, resolveremos el sistema de ecuaciones lineales dado por los métodos de eliminación o sustitución. Tenemos tres ecuaciones:
1. \(x + y = 0\)
2. \(x + 7y - 3z = -3\)
3. \(2x + 3y - 4z = -3\)
Primero, resolveremos la primera ecuación para una de las variables y sustituiremos ese valor en las otras dos ecuaciones. De la primera ecuación tenemos que:
\(y = -x\)
Ahora sustituiremos \(y\) por \(-x\) en las otras dos ecuaciones:
En la segunda ecuación:
\(x + 7(-x) - 3z = -3\)
\(x - 7x - 3z = -3\)
\(-6x - 3z = -3\) ... (4)
En la tercera ecuación:
\(2x + 3(-x) - 4z = -3\)
\(2x - 3x - 4z = -3\)
\(-x - 4z = -3\) ... (5)
Ahora, podemos resolver el sistema de dos ecuaciones (4) y (5) con dos incógnitas (\(x\) y \(z\)). Primero, multiplicaremos la ecuación (5) por 6 para poder eliminar \(x\) sumando las ecuaciones:
\(-6x - 24z = -18\) ... (6)
Sumamos la ecuación (4) y la ecuación (6):
\(-6x - 3z - 6x - 24z = -3 - 18\)
\(-12x - 27z = -21\)
Dividamos toda la ecuación por -3 para simplificar:
\(4x + 9z = 7\) ... (7)
Ahora, necesitamos resolver para una de las variables. Resolvamos para \(z\) partiendo de la ecuación (7):
\(9z = 7 - 4x\)
\(z = \frac{7}{9} - \frac{4}{9}x\)
Sustituimos \(z\) de nuevo en la ecuación (5):
\(-x - 4(\frac{7}{9} - \frac{4}{9}x) = -3\)
\(-x - \frac{28}{9} + \frac{16}{9}x = -3\)
\(\frac{15}{9}x - \frac{28}{9} = -3\)
Multiplicamos por 9 para eliminar los denominadores:
\(15x - 28 = -27\)
Ahora sumamos 28 a ambos lados:
\(15x = 1\)
Dividimos entre 15:
\(x = \frac{1}{15}\)
Ahora sustituimos \(x\) de nuevo en la ecuación para \(y\) y \(z\):
\(y = -\frac{1}{15}\)
\(z = \frac{7}{9} - \frac{4}{9}(\frac{1}{15})\)
\(z = \frac{7}{9} - \frac{4}{135}\)
\(z = \frac{105}{135} - \frac{4}{135}\)
\(z = \frac{101}{135}\)
\(z = \frac{101}{135}\)
Finalmente, simplificamos \(z\) si es posible:
\(z = \frac{101}{135}\) (No se simplifica más porque 101 es un número primo y no divide a 135)
Así que las soluciones al sistema dado son:
\(x = \frac{1}{15}\)
\(y = -\frac{1}{15}\)
\(z = \frac{101}{135}\)
Es importante recordar que siempre debemos de verificar estas soluciones sustituyéndolas en las ecuaciones originales para asegurarnos de que realmente son correctas.
