Question - Solving a Separable Differential Equation
Solution:
Dada la ecuación diferencial:
\[
\frac{1}{p(1-p)} dp = dt
\]
Podemos resolverla separando las variables p y t:
\[
\int \frac{1}{p(1-p)} dp = \int dt
\]
Para resolver el lado izquierdo, hacemos una descomposición en fracciones parciales
\[
\frac{1}{p(1-p)} = \frac{A}{p} + \frac{B}{1 - p}
\]
\[
1 = A(1 - p) + Bp
\]
Igualando los coeficientes, encontramos \( A = 1 \) y \( B = 1 \), luego
\[
\frac{1}{p(1-p)} = \frac{1}{p} + \frac{1}{1 - p}
\]
Ahora integramos ambos lados:
\[
\int \left(\frac{1}{p} + \frac{1}{1 - p}\right) dp = \int dt
\]
\[
\ln |p| - \ln |1 - p| = t + C
\]
donde \( C \) es la constante de integración.
Finalmente, exponenciamos ambos lados para resolver en términos de \( p \):
\[
e^{\ln |p| - \ln |1 - p|} = e^{t + C}
\]
\[
\frac{p}{1 - p} = Ce^t
\]
\[
p = (1 - p)Ce^t
\]
\[
p = Ce^t - pCe^t
\]
\[
p + pCe^t = Ce^t
\]
\[
p(1 + Ce^t) = Ce^t
\]
\[
p = \frac{Ce^t}{1 + Ce^t}
\]
donde \( C \) puede redefinirse para absorber constantes de integración adicionales.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com