Example Question - solution of differential equation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Differential Equation and Existence-Uniqueness Theorem
<p>La ecuación diferencial dada es: \[\frac{dP}{dt}=P(1-P)\]</p> <p>Para resolver esta ecuación diferencial, podemos separar variables para obtener:</p> <p>\[\int \frac{1}{P(1-P)} dP = \int dt\]</p> <p>Con una descomposición en fracciones parciales, obtenemos:</p> <p>\[\int \left(\frac{1}{P} + \frac{1}{1-P}\right)dP = \int dt\]</p> <p>Integrando ambos lados, tenemos:</p> <p>\[\ln|P| - \ln|1-P| = t + C\]</p> <p>Donde \(C\) es la constante de integración.</p> <p>Podemos resolver para \(P(t)\) por exponente de ambos lados:</p> <p>\[e^{\ln|P| - \ln|1-P|} = e^{t+C}\]</p> <p>\[\frac{P}{1-P} = e^{t+C}\]</p> <p>\[P = (1-P)e^{t+C}\]</p> <p>\[P + Pe^{t+C} = e^{t+C}\]</p> <p>\[P(1 + e^{t+C}) = e^{t+C}\]</p> <p>\[P = \frac{e^{t+C}}{1 + e^{t+C}}\]</p> <p>Finalmente, escribimos \(P\) en términos de la variable original \(t\):</p> <p>\[P(t) = \frac{e^{t+C}}{1 + e^{t+C}}\]</p> <p>Para el teorema de existencia y unicidad, necesitamos que \(f(P,t) = P(1 - P)\) y su derivada parcial \(\frac{\partial f}{\partial P}\) sean continuas respecto a \(P\) en un entorno del punto \((t_0, P_0)\).</p> <p>En este caso, \(\frac{\partial f}{\partial P} = 1 - 2P\) es continua para todo \(P\), por lo que el teorema de existencia y unicidad se cumple para cualquier punto \((t, P)\) en el plano \((t,P)\). No hay un punto \((x,y)\) tal que el teorema de existencia y unicidad no pueda garantizarse.</p>
Solving a Differential Equation and Identifying Singularity Points
Dada la ecuación diferencial: \[ \frac{dP}{dt} = P(K_1 - P); \] Separaremos las variables y luego integraremos ambos lados: \[ \frac{1}{P(K_1 - P)}dP = dt; \] Para integrar el lado izquierdo, aplicamos fracciones parciales: \[ \frac{1}{P(K_1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{K_1 - P}; \] Sumamos las fracciones y resolvemos para \( A \) y \( B \): \[ \frac{A(K_1 - P) + BP}{P(K_1 - P)} = \frac{1}{P(K_1 - P)}; \] Igualando coeficientes, obtenemos \( A = 1/K_1 \) y \( B = -1/K_1 \). Sustituimos estos valores de vuelta en la integral: \[ \int \frac{1}{K_1P} - \frac{1}{K_1(K_1 - P)} dP = \int dt; \] Al integrar encontramos: \[ \frac{1}{K_1}\ln{|P|} - \frac{1}{K_1}\ln{|K_1 - P|} = t + C; \] Aplicamos la propiedad de los logaritmos para combinar los logaritmos: \[ \ln{\left|\frac{P}{K_1 - P}\right|} = K_1(t + C); \] Exponenciamos ambos lados para eliminar el logaritmo y simplificar para \( P \): \[ \left|\frac{P}{K_1 - P}\right| = e^{K_1(t + C)}; \] \[ \frac{P}{K_1 - P} = \pm e^{K_1(t + C)}; \] \[ P = (K_1 - P) (\pm e^{K_1(t + C)}); \] \[ P = \pm K_1 e^{K_1(t + C)} \mp P e^{K_1(t + C)}; \] \[ P(1 \pm e^{K_1(t + C)}) = \pm K_1 e^{K_1(t + C)}; \] Si no consideramos los puntos singulares, podemos aislar \( P \): \[ P = \frac{\pm K_1 e^{K_1(t + C)}}{1 \pm e^{K_1(t + C)}}; \] De aquí podemos ver que hay al menos un punto \((t, P)\) donde el teorema de existencia y unicidad no podría garantizarse, y ese es cuando \( P = K_1 \), ya que el denominador se vuelve cero, lo que indica un punto donde la solución no está definida o no es única.
Solving a Separable Differential Equation
Dada la ecuación diferencial: \[ \frac{1}{p(1-p)} dp = dt \] Podemos resolverla separando las variables p y t: \[ \int \frac{1}{p(1-p)} dp = \int dt \] Para resolver el lado izquierdo, hacemos una descomposición en fracciones parciales \[ \frac{1}{p(1-p)} = \frac{A}{p} + \frac{B}{1 - p} \] \[ 1 = A(1 - p) + Bp \] Igualando los coeficientes, encontramos \( A = 1 \) y \( B = 1 \), luego \[ \frac{1}{p(1-p)} = \frac{1}{p} + \frac{1}{1 - p} \] Ahora integramos ambos lados: \[ \int \left(\frac{1}{p} + \frac{1}{1 - p}\right) dp = \int dt \] \[ \ln |p| - \ln |1 - p| = t + C \] donde \( C \) es la constante de integración. Finalmente, exponenciamos ambos lados para resolver en términos de \( p \): \[ e^{\ln |p| - \ln |1 - p|} = e^{t + C} \] \[ \frac{p}{1 - p} = Ce^t \] \[ p = (1 - p)Ce^t \] \[ p = Ce^t - pCe^t \] \[ p + pCe^t = Ce^t \] \[ p(1 + Ce^t) = Ce^t \] \[ p = \frac{Ce^t}{1 + Ce^t} \] donde \( C \) puede redefinirse para absorber constantes de integración adicionales.
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