CamTutor

Example Question - integral

Here are examples of questions we've helped users solve.

Integral of a Rational Function over a Radical

\(\int \frac{1}{x^4 \sqrt{9 - x^2}} dx\) لحل هذا التكامل، نقوم عادةً بتعيين \(x = 3\sin(\theta)\) لتبسيط المعادلة تحت الجذر. إذًا، \(dx = 3\cos(\theta) d\theta\) و \(9 - x^2 = 9 - 9\sin^2(\theta)\). نستخدم هوية الجيب وجيب التمام \(1 - \sin^2(\theta) = \cos^2(\theta)\), لنحصل على: \(\sqrt{9 - x^2} = \sqrt{9\cos^2(\theta)} = 3|\cos(\theta)|\). وبما أن \(\theta\) هو الأركسين لـ \(x/3\), فإن \(\cos(\theta) \geq 0\) وبالتالي \(|\cos(\theta)| = \cos(\theta)\). التكامل يصبح: \(\int \frac{1}{(3\sin(\theta))^4 \cdot 3\cos(\theta)} \cdot 3\cos(\theta) d\theta\) \(\int \frac{1}{(3\sin(\theta))^4} d\theta\) \(\int \frac{1}{81\sin^4(\theta)} d\theta\) لتبسيط التعبير ن更 استخدم الهوية \(sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\): \(\int \frac{4}{81(1 - \cos(2\theta))^2} d\theta\) ثم نستخدم تبسيطًا شائعًا ونقدم التكامل بصيغة تحويلات إلى كثيرات حدود: \(\int \frac{4}{81(1 - u)^2} \frac{du}{-2}\) حيث \(u = \cos(2\theta)\) \(-\frac{8}{81} \int \frac{1}{(1 - u)^2} du\) \(-\frac{8}{81} \left(-\frac{1}{1 - u}\right) + C\) \(\frac{8}{81(1 - \cos(2\theta))} + C\) ثم نعيد التعبير الى المتغير \(x\) باستخدام الهويات الأصلية: \(\frac{8}{81\left(1 - \left(1 - 2\sin^2\left(\frac{x}{3}\right)\right)\right)} + C\) \(\frac{8}{81\left(2\sin^2\left(\frac{x}{3}\right)\right)} + C\) \(\frac{4}{81\sin^2\left(\frac{x}{3}\right)} + C\) وهذا هو الحل النهائي للتكامل المعطى.

Solving a Separable Differential Equation

Dada la ecuación diferencial: \[ \frac{1}{p(1-p)} dp = dt \] Podemos resolverla separando las variables p y t: \[ \int \frac{1}{p(1-p)} dp = \int dt \] Para resolver el lado izquierdo, hacemos una descomposición en fracciones parciales \[ \frac{1}{p(1-p)} = \frac{A}{p} + \frac{B}{1 - p} \] \[ 1 = A(1 - p) + Bp \] Igualando los coeficientes, encontramos \( A = 1 \) y \( B = 1 \), luego \[ \frac{1}{p(1-p)} = \frac{1}{p} + \frac{1}{1 - p} \] Ahora integramos ambos lados: \[ \int \left(\frac{1}{p} + \frac{1}{1 - p}\right) dp = \int dt \] \[ \ln |p| - \ln |1 - p| = t + C \] donde \( C \) es la constante de integración. Finalmente, exponenciamos ambos lados para resolver en términos de \( p \): \[ e^{\ln |p| - \ln |1 - p|} = e^{t + C} \] \[ \frac{p}{1 - p} = Ce^t \] \[ p = (1 - p)Ce^t \] \[ p = Ce^t - pCe^t \] \[ p + pCe^t = Ce^t \] \[ p(1 + Ce^t) = Ce^t \] \[ p = \frac{Ce^t}{1 + Ce^t} \] donde \( C \) puede redefinirse para absorber constantes de integración adicionales.

Solving an Integral Involving a Trigonometric Function

The integral of \( f(x) = -3 \cos(4x) \) can be found using the standard integration techniques for trigonometric functions. Let \( u = 4x \). Therefore, \( du = 4dx \) or \( \frac{du}{4} = dx \). The integral becomes: \( \int -3 \cos(4x) dx = \int -3 \cos(u) \frac{du}{4} \) \( = -\frac{3}{4} \int \cos(u) du \) \( = -\frac{3}{4} \sin(u) + C \) Substituting back \( u = 4x \): \( = -\frac{3}{4} \sin(4x) + C \) Where \( C \) is the constant of integration.

Finding the Integral of an Exponential Function

\int 7^x dx = \int e^{x \ln(7)} dx Let u = x \ln(7) \Rightarrow du = \ln(7) dx dx = \frac{du}{\ln(7)} \int e^{x \ln(7)} dx = \int e^u \frac{du}{\ln(7)} \frac{1}{\ln(7)}\int e^u du = \frac{1}{\ln(7)} e^u + C \frac{1}{\ln(7)} e^{x \ln(7)} + C = \frac{7^x}{\ln(7)} + C So, the integral of f(x) = 7^x is \frac{7^x}{\ln(7)} + C