Question - Solving a Quadratic Equation with Complex Solutions
Solution:
La imagen muestra una ecuación que parece ser $$ y + \frac{1}{y} = \frac{4}{3} $$. Para resolver esta ecuación por $$ y $$, podemos seguir los siguientes pasos:1. Multiplicar ambos lados de la ecuación por $$ y $$ para eliminar el denominador:$$ y(y) + \frac{1}{y}(y) = \frac{4}{3}(y) $$2. Esto simplifica a:$$ y^2 + 1 = \frac{4}{3}y $$3. Para resolver una ecuación cuadrática, queremos llevar todos los términos a un lado de la igualdad y establecer la ecuación igual a cero:$$ y^2 - \frac{4}{3}y + 1 = 0 $$4. Multiplicamos todo por 3 para eliminar los denominadores y obtener una ecuación con números enteros:$$ 3y^2 - 4y + 3 = 0 $$5. Ahora tenemos una ecuación cuadrática estándar y podemos usar la fórmula cuadrática o intentar factorizar. La ecuación parece no factorizarse fácilmente, entonces usaremos la fórmula cuadrática $$ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ donde $$ a = 3 $$, $$ b = -4 $$, y $$ c = 3 $$.6. Sustituimos los valores en la fórmula cuadrática:$$ y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(3)}}{2(3)} $$7. Esto simplifica a:$$ y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 36}}{6} $$$$ y = \frac{4 \pm \sqrt{-20}}{6} $$8. Como tenemos un número negativo dentro del radical, las soluciones serán números complejos. Extraemos el $$i$$ (la unidad imaginaria) para representar $$ \sqrt{-1} $$:$$ y = \frac{4 \pm \sqrt{20}i}{6} $$9. Simplificamos $$ \sqrt{20} $$ como $$ 2\sqrt{5} $$ para obtener las soluciones en su forma más simplificada:$$ y = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}i}{6} $$10. Finalmente, dividimos tanto el numerador como el denominador por 2:$$ y = \frac{2 \pm \sqrt{5}i}{3} $$Entonces las soluciones son $$ y = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3}i $$ y $$ y = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5}}{3}i $$.
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