Example Question - complex solutions
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving a Quadratic Equation with Complex Solutions
La imagen muestra una ecuación que parece ser \( y + \frac{1}{y} = \frac{4}{3} \). Para resolver esta ecuación por \( y \), podemos seguir los siguientes pasos: 1. Multiplicar ambos lados de la ecuación por \( y \) para eliminar el denominador: \( y(y) + \frac{1}{y}(y) = \frac{4}{3}(y) \) 2. Esto simplifica a: \( y^2 + 1 = \frac{4}{3}y \) 3. Para resolver una ecuación cuadrática, queremos llevar todos los términos a un lado de la igualdad y establecer la ecuación igual a cero: \( y^2 - \frac{4}{3}y + 1 = 0 \) 4. Multiplicamos todo por 3 para eliminar los denominadores y obtener una ecuación con números enteros: \( 3y^2 - 4y + 3 = 0 \) 5. Ahora tenemos una ecuación cuadrática estándar y podemos usar la fórmula cuadrática o intentar factorizar. La ecuación parece no factorizarse fácilmente, entonces usaremos la fórmula cuadrática \( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) donde \( a = 3 \), \( b = -4 \), y \( c = 3 \). 6. Sustituimos los valores en la fórmula cuadrática: \( y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(3)}}{2(3)} \) 7. Esto simplifica a: \( y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 36}}{6} \) \( y = \frac{4 \pm \sqrt{-20}}{6} \) 8. Como tenemos un número negativo dentro del radical, las soluciones serán números complejos. Extraemos el \(i\) (la unidad imaginaria) para representar \( \sqrt{-1} \): \( y = \frac{4 \pm \sqrt{20}i}{6} \) 9. Simplificamos \( \sqrt{20} \) como \( 2\sqrt{5} \) para obtener las soluciones en su forma más simplificada: \( y = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}i}{6} \) 10. Finalmente, dividimos tanto el numerador como el denominador por 2: \( y = \frac{2 \pm \sqrt{5}i}{3} \) Entonces las soluciones son \( y = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3}i \) y \( y = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5}}{3}i \).
Solving a Quadratic Equation Step by Step
Claro, resolvamos la ecuación paso a paso. La ecuación en la imagen es: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{2} (6x - 6) = -2 \] Primero, podemos simplificar la expresión eliminando el paréntesis distribuyendo \(\frac{1}{2}\) en los términos dentro del paréntesis: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \cdot 6x - \frac{1}{2} \cdot 6 = -2 \] Esto se simplifica a: \[ \frac{1}{x} + 3x - 3 = -2 \] Ahora, queremos tener todos los términos en un lado de la ecuación y todo en términos de \(x\). Sumamos 3 a ambos lados de la ecuación: \[ \frac{1}{x} + 3x = 1 \] Para combinar los términos con \(x\), podemos multiplicar cada término por \(x\) para eliminar el denominador en el primer término: \[ 1 + 3x^2 = x \] Ahora, movemos todos los términos al lado izquierdo para obtener un polinomio igualado a cero: \[ 3x^2 - x + 1 = 0 \] Esta es una ecuación cuadrática y podemos resolverla usando la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Donde \(a = 3\), \(b = -1\) y \(c = 1\). Sustituimos los valores en la fórmula: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12}}{6} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{-11}}{6} \] Dado que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, la ecuación no tiene soluciones reales. Por lo tanto, \(x\) tendría dos soluciones complejas debido al discriminante negativo (\(-11\)). Estas soluciones están en la forma de números complejos.
Solving Quadratic Equations with Complex Solutions
The equation given in the image is a quadratic equation of the form: \[ 2x^2 - 4x + 4 = 0 \] We can solve this equation by either factoring, completing the square, or using the quadratic formula. This equation does not factor easily, so we'll use the quadratic formula: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \] For the given equation, \(a = 2\), \(b = -4\), and \(c = 4\). Plugging these values into the quadratic formula: \[ x = \frac{{-(-4) \pm \sqrt{{(-4)^2 - 4(2)(4)}}}}{{2(2)}} \] \[ x = \frac{{4 \pm \sqrt{{16 - 32}}}}{{4}} \] \[ x = \frac{{4 \pm \sqrt{{-16}}}}{{4}} \] Since we have a negative number under the square root, the solutions will be complex numbers. We continue: \[ x = \frac{{4 \pm 4i}}{{4}} \] Simplifying further, we divide both terms in the numerator by the denominator: \[ x = 1 \pm i \] The solutions to the quadratic equation are: \[ x = 1 + i \quad \text{and} \quad x = 1 - i \] Here, \(i\) is the imaginary unit, where \(i^2 = -1\).
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