Solving a Quadratic Equation with Complex Solutions
La imagen muestra una ecuación que parece ser \( y + \frac{1}{y} = \frac{4}{3} \). Para resolver esta ecuación por \( y \), podemos seguir los siguientes pasos:
1. Multiplicar ambos lados de la ecuación por \( y \) para eliminar el denominador:
\( y(y) + \frac{1}{y}(y) = \frac{4}{3}(y) \)
2. Esto simplifica a:
\( y^2 + 1 = \frac{4}{3}y \)
3. Para resolver una ecuación cuadrática, queremos llevar todos los términos a un lado de la igualdad y establecer la ecuación igual a cero:
\( y^2 - \frac{4}{3}y + 1 = 0 \)
4. Multiplicamos todo por 3 para eliminar los denominadores y obtener una ecuación con números enteros:
\( 3y^2 - 4y + 3 = 0 \)
5. Ahora tenemos una ecuación cuadrática estándar y podemos usar la fórmula cuadrática o intentar factorizar. La ecuación parece no factorizarse fácilmente, entonces usaremos la fórmula cuadrática \( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) donde \( a = 3 \), \( b = -4 \), y \( c = 3 \).
6. Sustituimos los valores en la fórmula cuadrática:
\( y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(3)}}{2(3)} \)
7. Esto simplifica a:
\( y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 36}}{6} \)
\( y = \frac{4 \pm \sqrt{-20}}{6} \)
8. Como tenemos un número negativo dentro del radical, las soluciones serán números complejos. Extraemos el \(i\) (la unidad imaginaria) para representar \( \sqrt{-1} \):
\( y = \frac{4 \pm \sqrt{20}i}{6} \)
9. Simplificamos \( \sqrt{20} \) como \( 2\sqrt{5} \) para obtener las soluciones en su forma más simplificada:
\( y = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}i}{6} \)
10. Finalmente, dividimos tanto el numerador como el denominador por 2:
\( y = \frac{2 \pm \sqrt{5}i}{3} \)
Entonces las soluciones son \( y = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3}i \) y \( y = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5}}{3}i \).
