Example Question - logarithmic functions
Here are examples of questions we've helped users solve.
Trigonometric and Logarithmic Equations
<p>\text{Given the equations:}</p> <p>[1]\: y = \sin^3{x} + \csc^5{x^3} + \tan^5{ \left( \sqrt{x^2 + 1^3} \right)}</p> <p>\text{Differentiate equation [1] with respect to } x:</p> <p>\frac{d}{dx}y = 3\sin^2{x}\cos{x} - 5\csc^6{x^3}(3x^2)\cot{x^3} + 5\tan^4{ \left( \sqrt{x^2 + 1^3} \right) }\frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1^3}}(2x)(1+\tan^2{ \left( \sqrt{x^2 + 1^3} \right) })</p> <p>[2]\: y = x\cos(\ln{x}) + 10\sec{(\sqrt{x})}</p> <p>\text{Differentiate equation [2] with respect to } x:</p> <p>\frac{d}{dx}y = \cos(\ln{x}) - x\sin(\ln{x})\frac{1}{x} + 10\sec{(\sqrt{x})}\tan{(\sqrt{x})}\frac{1}{2\sqrt{x}}</p> <p>[3]\: y = \frac{\sin{(x^2-1)}}{x} + \cos{(\cos{x})^2} - 2\cot{(x^{-3})}</p> <p>\text{Differentiate equation [3] with respect to } x:</p> <p>\frac{d}{dx}y = \frac{x(2x)\cos{(x^2 - 1)} - \sin{(x^2 - 1)}}{x^2} - 2\cos{(\cos{x})}\sin{x}(-\sin{x}) + 2\csc^2{(x^{-3})}(3x^{-4})</p>
Solving Exponential Equation with Logarithms
The equation provided in the image is: 5^(3x) + 2 = 8 To solve for x, you should follow these steps: 1. Subtract 2 from both sides to isolate the exponential term: 5^(3x) + 2 - 2 = 8 - 2 5^(3x) = 6 2. Take the logarithm of both sides of the equation. It's often easier to use the logarithm with the same base as the exponent, but you can use the natural logarithm (ln) or common logarithm (log base 10): ln(5^(3x)) = ln(6) 3. Use the power rule of logarithms, which states that ln(a^b) = b*ln(a): 3x * ln(5) = ln(6) 4. Divide both sides by 3*ln(5) to solve for x: x = ln(6) / (3 * ln(5)) Now, we can compute the value of x numerically. Note that since you're asked to round to the nearest thousandth, you should use a calculator to ensure accuracy. x ≈ ln(6) / (3 * ln(5)) Using a calculator: x ≈ ln(6) / (3 * ln(5)) x ≈ 1.791759469 / (3 * 1.609437912) x ≈ 1.791759469 / 4.828313737 x ≈ 0.371072 Rounding to the nearest thousandth: x ≈ 0.371 So, x is approximately 0.371 when rounded to the nearest thousandth.
Analyzing Exponential and Logarithmic Functions
Trước tiên, để giải quyết các câu hỏi từ hình ảnh, chúng ta sẽ xem xét từng câu một. Câu 1: Với \( a \) là số thực dương tuỳ ý, biểu thức \( a^{a^a} \) là Ta biết rằng biểu thức \( a^{a^a} \) có thể viết lại như sau: \( a^{(a^a)} \), theo quy tắc lũy thừa, giá trị của số mũ được xác định bởi biểu thức trong ngoặc trước tiên. Điều này không giống với bất kỳ đáp án nào đã cho, vì các đáp án đều có dạng \( a^{\text{số mũ}} \) với số mũ không có ngoặc. Có thể hình ảnh này chưa hiển thị đầy đủ các phương án lựa chọn hoặc câu hỏi có thể có lỗi. Tuy nhiên, dựa vào các phương án lựa chọn được cung cấp, đây có vẻ như là một câu hỏi về các đặc tính của lũy thừa. Nếu chúng ta giả sử đề bài cần chúng ta viết lại biểu thức \( a^{a^a} \) dưới dạng một lũy thừa đơn giản hơn, vẫn không có đáp án nào đúng với cách biểu diễn này. Câu 2: Với \( a \) là số thực dương tuỳ ý, \( \log_a {a^2} \) bằng Để giải bài toán này, ta sử dụng định nghĩa cơ bản của logarit: \( \log_b {x} \) là số \( y \) sao cho \( b^y = x \). Áp dụng định nghĩa này vào đề bài, ta có: \( \log_a {a^2} \) là số mũ cần thiết để \( a \) được nâng lên quyền lực để nhận được \( a^2 \). Vì vậy, ta tìm số mũ \( y \) sao cho: \( a^y = a^2 \) Từ đây có thể thấy \( y = 2 \). Vậy \( \log_a {a^2} = 2 \). Chọn đáp án là: A. \( 2 \log_a {a} \) B. \( 2 + \log_a {a} \) C. \( \frac{1}{2} \log_a {a} \) D. \( -\frac{1}{2} \log_a {a} \) Đáp án đúng là B. \( 2 + \log_a {a} \). Tuy nhiên, đáp án này là không chính xác theo cách chúng ta vừa giải, vì \( 2 + \log_a {a} \) thực sự sẽ bằng 2 (do \( \log_a {a} \) luôn bằng 1). Vì thế, có vẻ như lựa chọn đúng phải là \( 2 \) đơn giản, không kèm theo \( \log_a {a} \), có nghĩa là đề có thể đã bị in sai hoặc ta hiểu sai ý của đề. Câu 3: Tập xác định của hàm số \( y = \log_2 {3x} \) là Hàm logarit chỉ xác định khi giá trị bên trong logarit là một số dương. Vì vậy ta cần \( 3x > 0 \), điều này có nghĩa là \( x > 0 \). Vậy tập xác định của hàm số là (0, +∞), đáp án: A. \( (-\infty, 0) \) B. \( (0, +\infty) \) C. \( 0 \) D. \( [1, +∞) \) Đáp án đúng là B. \( (0, +∞) \).
Solving a Logarithmic Inequality with Quadratic Equations
Đề bài này yêu cầu giải bất phương trình sau: \[ \log_{2}(x^2 - 4x - 5) < 4 \] Để giải bất phương trình này, ta làm như sau: Trước tiên, đặt điều kiện để biểu thức trong logarit có nghĩa: \[ x^2 - 4x - 5 > 0 \] Giải phương trình bậc hai này ta có: \[ (x-5)(x+1) > 0 \] Điều này cho ta các khoảng nghiệm là \( x \in (-\infty, -1) \) hoặc \( x \in (5, +\infty) \). Tiếp theo, ta giải bất phương trình ban đầu: \[ \log_{2}(x^2 - 4x - 5) < 4 \] Áp dụng định nghĩa của logarit, ta có: \[ x^2 - 4x - 5 < 2^4 \] \[ x^2 - 4x - 5 < 16 \] \[ x^2 - 4x - 21 < 0 \] Giải phương trình bậc hai \(x^2 - 4x - 21 = 0\) sẽ tìm được các nghiệm là: \[ (x - 7)(x + 3) = 0 \] Vì vậy, các nghiệm của phương trình là \( x = 7 \) và \( x = -3 \). Từ đó ta có khoảng nghiệm của bất phương trình \( x^2 - 4x - 21 < 0 \) là \( x \in (-3, 7) \). Bây giờ, ta kết hợp điều kiện của biểu thức logarit và nghiệm của bất phương trình, ta có nghiệm cuối cùng của bất phương trình ban đầu là: \[ x \in (5, 7) \] Vậy nghiệm của bất phương trình là \( x \in (5, 7) \).
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com