Solving a Logarithmic Inequality with Quadratic Equations
Đề bài này yêu cầu giải bất phương trình sau:
\[
\log_{2}(x^2 - 4x - 5) < 4
\]
Để giải bất phương trình này, ta làm như sau:
Trước tiên, đặt điều kiện để biểu thức trong logarit có nghĩa:
\[
x^2 - 4x - 5 > 0
\]
Giải phương trình bậc hai này ta có:
\[
(x-5)(x+1) > 0
\]
Điều này cho ta các khoảng nghiệm là \( x \in (-\infty, -1) \) hoặc \( x \in (5, +\infty) \).
Tiếp theo, ta giải bất phương trình ban đầu:
\[
\log_{2}(x^2 - 4x - 5) < 4
\]
Áp dụng định nghĩa của logarit, ta có:
\[
x^2 - 4x - 5 < 2^4
\]
\[
x^2 - 4x - 5 < 16
\]
\[
x^2 - 4x - 21 < 0
\]
Giải phương trình bậc hai \(x^2 - 4x - 21 = 0\) sẽ tìm được các nghiệm là:
\[
(x - 7)(x + 3) = 0
\]
Vì vậy, các nghiệm của phương trình là \( x = 7 \) và \( x = -3 \). Từ đó ta có khoảng nghiệm của bất phương trình \( x^2 - 4x - 21 < 0 \) là \( x \in (-3, 7) \).
Bây giờ, ta kết hợp điều kiện của biểu thức logarit và nghiệm của bất phương trình, ta có nghiệm cuối cùng của bất phương trình ban đầu là:
\[
x \in (5, 7)
\]
Vậy nghiệm của bất phương trình là \( x \in (5, 7) \).
