Example Question - differential equation solution
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving an Inexact Differential Equation
Para resolver el problema 29, se nos presenta una ecuación diferencial que es inexacta. Necesitamos encontrar el factor integrante y resolver la ecuación exacta resultante. La ecuación diferencial inexacta dada es: \[ \left( x^2 + xy - y^2 \right)dx + \left( y^2 + 2xy - x^2 \right)dy = 0 \] Primero comprobamos si la ecuación es inexacta calculando las derivadas parciales. Para una ecuación diferencial de la forma \( Mdx + Ndy = 0 \), la condición de exactitud es \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \). Obtenemos \( M = x^2 + xy - y^2 \) y \( N = y^2 + 2xy - x^2 \), y calculamos: \[ \frac{\partial M}{\partial y} = x - 2y \] \[ \frac{\partial N}{\partial x} = -x + 2y \] Como \( \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} \), la ecuación no es exacta. Luego, se nos da un factor integrante \(\mu(x, y)\) que nos permitirá convertirla en una ecuación exacta, pero dado que la imagen no proporciona este factor integrante, no podemos continuar con la solución. En el caso de que se nos hubiera proporcionado un factor integrante \(\mu(x, y)\), el siguiente paso sería multiplicar toda la ecuación por \(\mu(x, y)\) para obtener la forma exacta, y luego resolverla a través de la integración.
Solution to a First Order Linear Differential Equation
<p>Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden tienen la forma \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\), donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones continuas en un intervalo dado. Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden se utiliza un factor integrante, \(\mu(x)\), definido por \(\mu(x) = e^{\int P(x) dx}\).</p> <p>La ecuación dada es:</p> <p>\[x\frac{dy}{dx} - y = x^3 \sin x\]</p> <p>Primero reescribimos la ecuación en la forma estándar dividiendo todo por \(x\) (dado que \(x \neq 0\)):</p> <p>\[\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = x^2 \sin x\]</p> <p>Identificamos \(P(x) = -\frac{1}{x}\) y \(Q(x) = x^2 \sin x\).</p> <p>Calculamos el factor integrante:</p> <p>\[\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{|x|}\]</p> <p>Para mantener el contexto de la ecuación, podemos usar \(\mu(x) = \frac{1}{x}\) asumiendo que \(x > 0\).</p> <p>Multiplicamos ambos lados de la ecuación estándar por \(\mu(x)\):</p> <p>\[\frac{1}{x}\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2}y = \sin x\]</p> <p>Reescribimos el lado izquierdo como una derivada de un producto:</p> <p>\[\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} y\right) = \sin x\]</p> <p>Integramos ambos lados con respecto a \(x\):</p> <p>\[\int \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} y\right) dx = \int \sin x dx\]</p> <p>\[\frac{1}{x} y = -\cos x + C\]</p> <p>Despejamos para \(y\):</p> <p>\[y = -x \cos x + Cx\]</p> <p>Donde \(C\) es la constante de integración.</p>
Solution to a Differential Equation
题目给出了一个初值问题，微分方程为 \(\frac{dy}{dx} = y - 2\)，初始条件为 \(y(2) = 3\)。让我们解这个微分方程。 分离变量得到： \[\frac{1}{y-2}dy = dx\] 对两边积分，得到： \[\int\frac{1}{y-2}dy = \int dx\] 得到： \[ln|y-2| = x + C\] 由于 \(ln|y-2|\) 对应的是 \(y-2\) 的绝对值，因此我们需要考虑 \(y-2\) 为正或者为负的情况。但是，由于初始条件 \(y(2) = 3\)，我们可以知道 \(y-2\) 应该是正的。 所以我们现在有： \[ln(y-2) = x + C\] 为了解出常数 \(C\)，我们使用初始条件 \(y(2) = 3\)： \[ln(3-2) = 2 + C\] \[ln(1) = C\] 由于 \(ln(1) = 0\)，我们有 \(C = 0\)。 因此，解为： \[ln(y-2) = x\] 解出 \(y\) 得： \[y-2 = e^x\] \[y = e^x + 2\] 所以正确答案是 (A) \(y = e^x + 2\)。
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