Question - Simplifying Expressions with Binomial Coefficients
Solution:
La expresión que se te ha dado para reducir es:\[ E = C^7_{20} + C^8_{20} + C^{12}_{21} \]Para resolver esto, necesitamos recordar las propiedades de los coeficientes binomiales. Existe una relación entre los coeficientes binomiales que dice lo siguiente: \[ C^n_k = C^{n}_{k-1} + C^{n-1}_{k-1} \]En otras palabras, un coeficiente binomial se puede expresar como la suma de dos coeficientes binomiales que están un nivel arriba en el triángulo de Pascal.Usando esta propiedad, por ejemplo, podemos reducir $$ C^8_{20} $$ como:\[ C^8_{20} = C^{20-1}_{8} + C^{20-1}_{8-1} \]\[ C^8_{20} = C^{19}_{8} + C^{19}_{7} \]Pero observa que en la expresión original, también tenemos el término $$ C^7_{20} $$. Este es uno de los términos a los que hemos reducido $$ C^8_{20} $$. Por lo tanto, podemos sumar esos dos términos juntos.Ahora, revisemos el último término $$ C^{12}_{21} $$. Uno de los términos de su expansión será $$ C^{20}_{12} $$, que es el complemento de $$ C^8_{20} $$ ya que $$ 8 + 12 = 20 $$.Entonces, aplicando estas propiedades y relaciones:\[ E = C^7_{20} + C^8_{20} + C^{12}_{21} \]\[ E = C^7_{20} + (C^{19}_{8} + C^{19}_{7}) + C^{12}_{21} \]\[ E = (C^7_{20} + C^{19}_{7}) + C^{19}_{8} + C^{12}_{21} \]Observa que $$ C^{19}_{7} $$ es igual a $$ C^7_{20} $$ porque $$ C^n_k = C^n_{n-k} $$. Por lo tanto, podemos combinar esos términos.\[ E = 2C^7_{20} + C^{19}_{8} + C^{12}_{21} \]Ahora, el término $$ C^{19}_{8} $$ es igual a $$ C^{12}_{20} $$, ya que $$ 8+12 = 20 $$. Y observe que $$ C^{12}_{20} $$ es el complemento de $$ C^{12}_{21} $$ porque $$ C^n_k = C^{n+1}_{k} - C^{n}_{k-1} $$.Entonces, usando la propiedad del complemento, tenemos:\[ C^{12}_{21} = C^{20}_{12} + C^{20}_{11} \]\[ C^{12}_{21} = C^{19}_{8} + C^{20}_{11} \]Reemplazamos $$ C^{12}_{21} $$ con $$ C^{19}_{8} + C^{20}_{11} $$ en nuestra suma original $$ E $$:\[ E = 2C^7_{20} + C^{19}_{8} + (C^{19}_{8} + C^{20}_{11}) \]Combinamos los términos semejantes:\[ E = 2C^7_{20} + 2C^{19}_{8} + C^{20}_{11} \]Esto es lo más simplificado que podemos hacer sin valores numéricos específicos para cada coeficiente binomial.
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