Example Question - properties
Here are examples of questions we've helped users solve.
Understanding Exponential Expressions
<p>To simplify the expression, we use the property of exponents that states:</p> <p>When dividing like bases, you subtract the exponents:</p> <p>\(\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}\)</p> <p>Thus, the equation holds:</p> <p>\(\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}\)</p>
Simplifying Mathematical Expressions
<p>a) \left| \frac{2}{3} \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) \cdot \frac{1}{4} \right| = \left| -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 4} \right| = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}</p> <p>b) \left| \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{7} \right)^{\frac{3}{2}} \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{2^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{8}}{2\sqrt{343}} = \frac{2\sqrt{2}}{14\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{2}}{7\sqrt{7}}</p> <p>c) \left| \left( \frac{5}{4} \right)^{-1} \right| = \left| \frac{4}{5} \right| = \frac{4}{5}</p>
Basic Arithmetic Properties
<p>\text{Para la primera ecuación:}</p> <p>7x \cdot 0 = 0</p> <p>\text{Propiedad de cero en la multiplicación.}</p> <p>\text{Para la segunda ecuación:}</p> <p>15 + 13 = 13 + 15</p> <p>\text{Propiedad conmutativa de la adición.}</p>
Simplifying Expressions with Binomial Coefficients
La expresión que se te ha dado para reducir es: \[ E = C^7_{20} + C^8_{20} + C^{12}_{21} \] Para resolver esto, necesitamos recordar las propiedades de los coeficientes binomiales. Existe una relación entre los coeficientes binomiales que dice lo siguiente: \[ C^n_k = C^{n}_{k-1} + C^{n-1}_{k-1} \] En otras palabras, un coeficiente binomial se puede expresar como la suma de dos coeficientes binomiales que están un nivel arriba en el triángulo de Pascal. Usando esta propiedad, por ejemplo, podemos reducir \( C^8_{20} \) como: \[ C^8_{20} = C^{20-1}_{8} + C^{20-1}_{8-1} \] \[ C^8_{20} = C^{19}_{8} + C^{19}_{7} \] Pero observa que en la expresión original, también tenemos el término \( C^7_{20} \). Este es uno de los términos a los que hemos reducido \( C^8_{20} \). Por lo tanto, podemos sumar esos dos términos juntos. Ahora, revisemos el último término \( C^{12}_{21} \). Uno de los términos de su expansión será \( C^{20}_{12} \), que es el complemento de \( C^8_{20} \) ya que \( 8 + 12 = 20 \). Entonces, aplicando estas propiedades y relaciones: \[ E = C^7_{20} + C^8_{20} + C^{12}_{21} \] \[ E = C^7_{20} + (C^{19}_{8} + C^{19}_{7}) + C^{12}_{21} \] \[ E = (C^7_{20} + C^{19}_{7}) + C^{19}_{8} + C^{12}_{21} \] Observa que \( C^{19}_{7} \) es igual a \( C^7_{20} \) porque \( C^n_k = C^n_{n-k} \). Por lo tanto, podemos combinar esos términos. \[ E = 2C^7_{20} + C^{19}_{8} + C^{12}_{21} \] Ahora, el término \( C^{19}_{8} \) es igual a \( C^{12}_{20} \), ya que \( 8+12 = 20 \). Y observe que \( C^{12}_{20} \) es el complemento de \( C^{12}_{21} \) porque \( C^n_k = C^{n+1}_{k} - C^{n}_{k-1} \). Entonces, usando la propiedad del complemento, tenemos: \[ C^{12}_{21} = C^{20}_{12} + C^{20}_{11} \] \[ C^{12}_{21} = C^{19}_{8} + C^{20}_{11} \] Reemplazamos \( C^{12}_{21} \) con \( C^{19}_{8} + C^{20}_{11} \) en nuestra suma original \( E \): \[ E = 2C^7_{20} + C^{19}_{8} + (C^{19}_{8} + C^{20}_{11}) \] Combinamos los términos semejantes: \[ E = 2C^7_{20} + 2C^{19}_{8} + C^{20}_{11} \] Esto es lo más simplificado que podemos hacer sin valores numéricos específicos para cada coeficiente binomial.
Solving Geometry Problem with Similar Triangles
This geometry problem can be solved using the properties of similar triangles. From the image, there are two triangles: a larger right-angled triangle, and a smaller one inside it. Both are right-angled. Given that they share an acute angle, we can conclude that they are similar by the AA (Angle-Angle) criterion. When two triangles are similar, the ratios of their corresponding sides are proportional. The corresponding sides of the smaller triangle (with hypotenuse 3 and an unknown adjacent side to the right angle x) and the larger triangle (with hypotenuse 5 and an adjacent side to the right angle 3) should be in proportion. So we set up our proportion using the hypotenuses and one pair of corresponding sides: For the larger triangle, the sides are 5 (hypotenuse) and 3 (adjacent side). For the smaller triangle, they are 3 (hypotenuse) and x (adjacent side). Setting up a proportion, we get: 5 / 3 = 3 / x => 5x = 9 (Cross multiplying) => x = 9 / 5 => x = 1.8 or 1 4/5 Therefore, x is 1.8 or 1 4/5 in decimal and fractional forms, respectively. Since the question asked for the simplest radical form and both 1.8 and 1 4/5 are neither irrational nor do they have square roots, we can simply state that x = 1.8 or x = 1 4/5 as our final answer.
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