Question - Probability Calculation for Multiple-Choice Questions
Solution:
Um diese Multiple-Choice-Fragen zu lösen, müssen wir uns mit Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen:a) Die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Frage rein zufällig richtig beantwortet: Da es 3 mögliche Antworten gibt und nur eine Antwort richtig ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/3.b) Die Wahrscheinlichkeit, alle Fragen rein zufällig falsch zu beantworten, bedeutet, dass er bei jeder Frage die zwei falschen Antworten wählt. Für eine Frage ist die Wahrscheinlichkeit, falsch zu wählen, 2/3 (weil zwei der drei Antworten falsch sind). Weil die Fragen unabhängig voneinander sind, multiplizieren wir diese Wahrscheinlichkeiten:(2/3) * (2/3) * (2/3) * (2/3) = (2/3)^4 = 16/81.c) Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Frage richtig zu beantworten, können wir am einfachsten berechnen, indem wir die Wahrscheinlichkeit, alle Fragen falsch zu beantworten, von 1 subtrahieren:1 - (Wahrscheinlichkeit, alle falsch zu haben) = 1 - 16/81 = 65/81.d) Die Wahrscheinlichkeit, mindestens die Hälfte der Fragen richtig zu beantworten, bedeutet, er muss mindestens 2 von 4 Fragen richtig haben. Hier sind Kombinationen und binomiale Wahrscheinlichkeiten zu betrachten. Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei richtige Antworten ist:(Anzahl der Wege, 2 aus 4 auszuwählen) * (Wahrscheinlichkeit für richtig)^2 * (Wahrscheinlichkeit für falsch)^2.Die Anzahl der Wege, 2 aus 4 auszuwählen (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge), ist der Binomialkoeffizient C(4, 2) = 4! / (2!*(4-2)!) = 6.Also beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau 2 richtige Antworten:6 * (1/3)^2 * (2/3)^2 = 6 * 1/9 * 4/9 = 24/81.Jetzt müssen wir auch die Wahrscheinlichkeiten für 3 richtige und 4 richtige Antworten berücksichtigen.Für genau 3 richtige Antworten:C(4, 3) * (1/3)^3 * (2/3)^1 = 4 * 1/27 * 2/3 = 8/81.Für genau 4 richtige Antworten:C(4, 4) * (1/3)^4 * (2/3)^0 = 1 * 1/81 * 1 = 1/81.Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die Summe dieser drei Wahrscheinlichkeiten:24/81 + 8/81 + 1/81 = 33/81 = 11/27.Bitte beachten Sie, dass die Antworten a) und b) direkt berechnet wurden, während die Antworten c) und d) die Nutzung von binomialen Wahrscheinlichkeiten und Kombinatoriken beinhalten.
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