Example Question - probability theory
Here are examples of questions we've helped users solve.
Probability Calculation for Multiple-Choice Questions
Um diese Multiple-Choice-Fragen zu lösen, müssen wir uns mit Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen: a) Die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Frage rein zufällig richtig beantwortet: Da es 3 mögliche Antworten gibt und nur eine Antwort richtig ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/3. b) Die Wahrscheinlichkeit, alle Fragen rein zufällig falsch zu beantworten, bedeutet, dass er bei jeder Frage die zwei falschen Antworten wählt. Für eine Frage ist die Wahrscheinlichkeit, falsch zu wählen, 2/3 (weil zwei der drei Antworten falsch sind). Weil die Fragen unabhängig voneinander sind, multiplizieren wir diese Wahrscheinlichkeiten: (2/3) * (2/3) * (2/3) * (2/3) = (2/3)^4 = 16/81. c) Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Frage richtig zu beantworten, können wir am einfachsten berechnen, indem wir die Wahrscheinlichkeit, alle Fragen falsch zu beantworten, von 1 subtrahieren: 1 - (Wahrscheinlichkeit, alle falsch zu haben) = 1 - 16/81 = 65/81. d) Die Wahrscheinlichkeit, mindestens die Hälfte der Fragen richtig zu beantworten, bedeutet, er muss mindestens 2 von 4 Fragen richtig haben. Hier sind Kombinationen und binomiale Wahrscheinlichkeiten zu betrachten. Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei richtige Antworten ist: (Anzahl der Wege, 2 aus 4 auszuwählen) * (Wahrscheinlichkeit für richtig)^2 * (Wahrscheinlichkeit für falsch)^2. Die Anzahl der Wege, 2 aus 4 auszuwählen (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge), ist der Binomialkoeffizient C(4, 2) = 4! / (2!*(4-2)!) = 6. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau 2 richtige Antworten: 6 * (1/3)^2 * (2/3)^2 = 6 * 1/9 * 4/9 = 24/81. Jetzt müssen wir auch die Wahrscheinlichkeiten für 3 richtige und 4 richtige Antworten berücksichtigen. Für genau 3 richtige Antworten: C(4, 3) * (1/3)^3 * (2/3)^1 = 4 * 1/27 * 2/3 = 8/81. Für genau 4 richtige Antworten: C(4, 4) * (1/3)^4 * (2/3)^0 = 1 * 1/81 * 1 = 1/81. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die Summe dieser drei Wahrscheinlichkeiten: 24/81 + 8/81 + 1/81 = 33/81 = 11/27. Bitte beachten Sie, dass die Antworten a) und b) direkt berechnet wurden, während die Antworten c) und d) die Nutzung von binomialen Wahrscheinlichkeiten und Kombinatoriken beinhalten.
Understanding the Binomial Distribution in Probability Theory
The image contains a question in French about probability. The question translates to: "We know from experience that a certain surgical operation has a 95% chance of success. We are about to perform this operation on 6 patients. Let X be the random variable equal to the number of successful operations out of the 6 attempts. 1) What is the law followed by X?" The law followed by X is the binomial distribution. This is because the binomial distribution is applicable for a fixed number of independent trials (in this case, 6), where each trial has only two possible outcomes (success or failure), and the probability of success is the same for each trial. In mathematical terms, if \( p \) is the probability of success for each trial, \( n \) is the number of trials, and \( k \) is the number of successes, the probability \( P(X = k) \) is given by: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \] For this particular case: - \( n = 6 \) (the number of patients), - \( p = 0.95 \) (the probability of success for the surgical operation), - \( k \) can be any integer from 0 to 6 (the number of successful operations). So the random variable \( X \) representing the number of successful operations follows a binomial distribution with parameters \( n = 6 \) and \( p = 0.95 \).
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