Example Question - multiple-choice questions
Here are examples of questions we've helped users solve.
Probability Calculations for Multiple-Choice Questions
Bei der hier vorgestellten Aufgabe handelt es sich um Wahrscheinlichkeitsrechnungen im Kontext von Multiple-Choice-Fragen und Rechenaufgaben. Ich werde die einzelnen Teilaufgaben auf Deutsch lösen. Übung 2.4: Die Multiple-Choice-Klausurbestehet aus 5 Fragen (10 Punkte pro Frage). Jede Frage hat 4 mögliche Antworten, aber nur eine Antwort pro Frage ist richtig. a) Die Chance, dass jemand, der keine Ahnung hat, schon bei einer einzigen Frage alles richtig zu machen, kann berechnet werden, indem man die Wahrscheinlichkeit für die Auswahl der richtigen Antwort bei einer einzelnen Frage nimmt. Da es 4 mögliche Antworten gibt und nur eine davon richtig ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit \( \frac{1}{4} \) oder 25%, die richtige Antwort zufällig zu wählen. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der keine Ahnung hat, rein zufällig alle Fragen richtig beantwortet, ist das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten für jede Frage. Da es 5 Fragen gibt und die Wahrscheinlichkeit für jede richtige Antwort \( \frac{1}{4} \) ist, ergibt sich: \( P(\text{alle Fragen richtig}) = \left(\frac{1}{4}\right)^5 = \frac{1}{4^5} = \frac{1}{1024} \). c) Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der keine Ahnung hat, mindestens eine Frage richtig beantwortet, ist das Komplement zur Wahrscheinlichkeit, dass alle Antworten falsch sind. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Frage falsch zu liegen, beträgt \( \frac{3}{4} \), da 3 von 4 Antworten falsch sind. Für alle 5 Fragen: \( P(\text{alle Antworten falsch}) = \left(\frac{3}{4}\right)^5 \). Dann ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Frage richtig zu beantworten: \( P(\text{mindestens eine Frage richtig}) = 1 - P(\text{alle Antworten falsch}) = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^5 = 1 - \frac{243}{1024} = \frac{781}{1024} \). Somit lassen sich die einzelnen Fragen folgendermaßen beantworten: a) \( \frac{1}{4} \) oder 25% b) \( \frac{1}{1024} \) oder etwa 0.098% c) \( \frac{781}{1024} \) oder etwa 76.27%
Probability Calculation for Multiple-Choice Questions
Um diese Multiple-Choice-Fragen zu lösen, müssen wir uns mit Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen: a) Die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Frage rein zufällig richtig beantwortet: Da es 3 mögliche Antworten gibt und nur eine Antwort richtig ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/3. b) Die Wahrscheinlichkeit, alle Fragen rein zufällig falsch zu beantworten, bedeutet, dass er bei jeder Frage die zwei falschen Antworten wählt. Für eine Frage ist die Wahrscheinlichkeit, falsch zu wählen, 2/3 (weil zwei der drei Antworten falsch sind). Weil die Fragen unabhängig voneinander sind, multiplizieren wir diese Wahrscheinlichkeiten: (2/3) * (2/3) * (2/3) * (2/3) = (2/3)^4 = 16/81. c) Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Frage richtig zu beantworten, können wir am einfachsten berechnen, indem wir die Wahrscheinlichkeit, alle Fragen falsch zu beantworten, von 1 subtrahieren: 1 - (Wahrscheinlichkeit, alle falsch zu haben) = 1 - 16/81 = 65/81. d) Die Wahrscheinlichkeit, mindestens die Hälfte der Fragen richtig zu beantworten, bedeutet, er muss mindestens 2 von 4 Fragen richtig haben. Hier sind Kombinationen und binomiale Wahrscheinlichkeiten zu betrachten. Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei richtige Antworten ist: (Anzahl der Wege, 2 aus 4 auszuwählen) * (Wahrscheinlichkeit für richtig)^2 * (Wahrscheinlichkeit für falsch)^2. Die Anzahl der Wege, 2 aus 4 auszuwählen (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge), ist der Binomialkoeffizient C(4, 2) = 4! / (2!*(4-2)!) = 6. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau 2 richtige Antworten: 6 * (1/3)^2 * (2/3)^2 = 6 * 1/9 * 4/9 = 24/81. Jetzt müssen wir auch die Wahrscheinlichkeiten für 3 richtige und 4 richtige Antworten berücksichtigen. Für genau 3 richtige Antworten: C(4, 3) * (1/3)^3 * (2/3)^1 = 4 * 1/27 * 2/3 = 8/81. Für genau 4 richtige Antworten: C(4, 4) * (1/3)^4 * (2/3)^0 = 1 * 1/81 * 1 = 1/81. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die Summe dieser drei Wahrscheinlichkeiten: 24/81 + 8/81 + 1/81 = 33/81 = 11/27. Bitte beachten Sie, dass die Antworten a) und b) direkt berechnet wurden, während die Antworten c) und d) die Nutzung von binomialen Wahrscheinlichkeiten und Kombinatoriken beinhalten.
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