Example Question - multivariable calculus
Here are examples of questions we've helped users solve.
Partial Derivatives of ln(xy)
给定函数 \( z = \ln(xy) \)，我们要计算 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} \) 和 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} \)。 首先，找到第一次偏导数： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \ln(xy) = \frac{1}{xy} \cdot y = \frac{1}{x} \] 然后，找到第二次偏导数关于 \( x \)： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2} \] 接下来，对 \(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\) 关于 \( y \) 偏导： \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(-\frac{1}{x^2}\right) = 0 \] 因为 \(-\frac{1}{x^2}\) 是仅关于 \( x \) 的函数，并不依赖于 \( y \)，所以它的关于 \( y \) 的偏导数为 0。 接下来找 \( z \) 关于 \( y \) 的第一次偏导数： \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \ln(xy) = \frac{1}{xy} \cdot x = \frac{1}{y} \] 然后我们计算关于 \( y \) 的第二次偏导数： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{1}{y}\right) = -\frac{1}{y^2} \] 现在，我们要针对 \( x \) 偏导这个结果： \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(-\frac{1}{y^2}\right) = 0 \] 同样的，因为 \(-\frac{1}{y^2}\) 仅是 \( y \) 的函数，和 \( x \) 无关，所以它的关于 \( x \) 的偏导数为 0。 所以最后，我们得到的结果是： \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = 0 \] \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} = 0 \]
Partial Derivatives of a Logarithmic Function
为了求解这个偏微分方程，我们首先需要计算出 \(\frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y}\) 和 \(\frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2}\)。 给定函数 \(z = x \ln(y)\)，我们首先对 \(x\) 和 \(y\) 进行偏微分。 第一步，计算 \(z\) 对 \(x\) 的一阶偏导数： \[\frac{\partial z}{\partial x} = \ln(y) + x \cdot \frac{1}{y} \cdot 0 = \ln(y)\] 第二步，计算 \(z\) 对 \(y\) 的一阶偏导数： \[\frac{\partial z}{\partial y} = x \cdot \frac{1}{y}\] 第三步，求第一步结果对 \(x\) 的二阶偏导数： \[\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 0\] 第四步，求第二步结果对 \(y\) 的二阶偏导数： \[\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -x \cdot \frac{1}{y^2}\] 第五步，求第二步结果对 \(x\) 的混合二阶偏导数： \[\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left( x \cdot \frac{1}{y} \right) = \frac{1}{y}\] 第六步，计算对 \(x\) 的二阶偏导数和 \(y\) 的一阶偏导数的混合三阶偏导数： \[\frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \right) = \frac{\partial}{\partial y}(0) = 0\] 第七步，计算对 \(x\) 的一阶偏导数和 \(y\) 的二阶偏导数的混合三阶偏导数： \[\frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( -x \cdot \frac{1}{y^2} \right) = -\frac{1}{y^2}\] 所以，我们得到： \[\frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = 0\] \[\frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} = -\frac{1}{y^2}\] 我们现在可以将两个结果代入方程计算最终的答案： \[\frac{2024}{0} - \frac{0}{-\frac{1}{y^2}} = \infty\] 但这个除法没有定义，因为除数是零。因此，给出的方程没有数学意义。
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