Example Question - ln function

Partial Derivatives of ln(xy)

给定函数 \( z = \ln(xy) \)，我们要计算 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} \) 和 \( \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} \)。 首先，找到第一次偏导数： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \ln(xy) = \frac{1}{xy} \cdot y = \frac{1}{x} \] 然后，找到第二次偏导数关于 \( x \)： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2} \] 接下来，对 \(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\) 关于 \( y \) 偏导： \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(-\frac{1}{x^2}\right) = 0 \] 因为 \(-\frac{1}{x^2}\) 是仅关于 \( x \) 的函数，并不依赖于 \( y \)，所以它的关于 \( y \) 的偏导数为 0。 接下来找 \( z \) 关于 \( y \) 的第一次偏导数： \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \ln(xy) = \frac{1}{xy} \cdot x = \frac{1}{y} \] 然后我们计算关于 \( y \) 的第二次偏导数： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{1}{y}\right) = -\frac{1}{y^2} \] 现在，我们要针对 \( x \) 偏导这个结果： \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(-\frac{1}{y^2}\right) = 0 \] 同样的，因为 \(-\frac{1}{y^2}\) 仅是 \( y \) 的函数，和 \( x \) 无关，所以它的关于 \( x \) 的偏导数为 0。 所以最后，我们得到的结果是： \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = 0 \] \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} = 0 \]