Question - Ordinary Differential Equations Identification
Solution:
هذه قائمة بالمعادلات التفاضلية المُعطاة:
1) \( y'' - 2y' = 3e^{2x} \)
2) \( y'' - y = e^x \)
3) \( y' = x - 2xy^2 \)
4) \( \mathrm{d}y + 2(y - 4x^2) \mathrm{d}x = 0 \)
الخطوة الأولى هي تحديد نوع كل معادلة تفاضلية:
1) المعادلة الأولى معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الرتبة الثانية.
2) المعادلة الثانية معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الرتبة الثانية.
3) المعادلة الثالثة معادلة تفاضلية غير خطية من الرتبة الأولى.
4) المعادلة الرابعة معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الرتبة الأولى في صيغة المعادلة التفاضلية الدقيقة.
Tutor Solution:
1) \( y'' - 2y' - 3y = 2e^{2x} \)
هذه معادلة خطية تفاضلية غير متجانسة من الرتبة الثانية. سنجد الحل العام عبر إيجاد الحل الخاص للمعادلة المقابلة المتجانسة\( y'' - 2y' - 3y = 0 \)
نحل المعادلة التربيعية المميزة\( r^2 - 2r - 3 = 0 \)
لنجد الجذرين\( r = 3, r = -1 \)
لذلك، الحل العام للمعادلة المتجانسة هو\( y_h = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} \)
حيث \( C_1 \) و \( C_2 \) هما ثابتان. الآن علينا إيجاد الحل الخاص للدالة الغير متجانسة. نفترض أن الحل الخاص له الشكل\( y_p = Ae^{2x} \)
وعندما نقوم بتعويضه في المعادلة الأصلية نحصل على\( 4Ae^{2x} - 4Ae^{2x} - 3Ae^{2x} = 2e^{2x} \)
من هنا نستطيع حل \( A \)\( -3Ae^{2x} = 2e^{2x} \)
\( A = -\frac{2}{3} \)
لذلك الحل الخاص هو\( y_p = -\frac{2}{3}e^{2x} \)
والحل العام الكامل هو\( y = y_h + y_p = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} - \frac{2}{3}e^{2x} \)
2) \( y' - y = e^{-x} \)
هذه معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى. نستخدم طريقة عامل التكامل لحلها. أولاً، نجد عامل التكامل، \( \mu(x) \):\( \mu(x) = e^{\int -1dx} = e^{-x} \)
نضرب المعادلة في عامل التكامل:\( e^{-x}y' - e^{-x}y = 1 \)
هذه الصيغة تعطينا مشتقة جداء \( e^{-x}y \):\( (e^{-x}y)' = 1 \)
ندمج الطرفين بالنسبة إلى \( x \):\( \int (e^{-x}y)'dx = \int 1dx \)
\( e^{-x}y = x + C \)
ونقسم الطرفين على \( e^{-x} \) لنجد الحل:\( y = xe^{x} + Ce^{x} \)
3) \( y' = x - 2xy^2 \)
هذه معادلة تفاضلية غير خطية يمكن حلها باستعمال طريقة الفصل بين المتغيرات. نقوم بفصل المتغيرات:\( \frac{1}{1 - 2y^2}dy = xdx \)
ندمج الطرفين:\( \int \frac{1}{1 - 2y^2}dy = \int xdx \)
\( \frac{1}{2} \arctan(y\sqrt{2}) = \frac{x^2}{2} + C \)
\( \arctan(y\sqrt{2}) = x^2 + C' \)
حيث \( C' = 2C \)، والحل العام يمكن كتابته على الشكل:\( y = \frac{\tan\left((x^2 + C')/\sqrt{2}\right)}{\sqrt{2}} \)
4) \( dy + 2(y - 4x^2)dx = 0 \)
هذه معادلة تفاضلية تامة، يمكن حلها عن طريق التكامل المباشر. نعيد ترتيبها:\( dy + 2ydx = 8x^2dx \)
نعوض \( z = y + 4x^2 \) لنجد أن \( dz = dy + 8xdx \)، لكن في المعادلة لدينا \( 2ydx \) لذا نحن بحاجة إلى تقسيم \( dz \) على 2:\( \frac{1}{2}dz = dy + 4xdx \)
تلاحظ أن الجانب الأيسر من المعادلة الأصلية يصبح \( \frac{1}{2}dz \). لدينا:\( \frac{1}{2}dz = 8x^2dx \)
نضاعف الطرفين في 2:\( dz = 16x^2dx \)
ندمج الطرفين:\( \int dz = \int 16x^2dx \)
\( z = \frac{16x^3}{3} + C \)
ونعيد \( y + 4x^2 \) بدلاً من \( z \) لنجد الحل:\( y + 4x^2 = \frac{16x^3}{3} + C \)
\( y = \frac{16x^3}{3} + C - 4x^2 \)
أتمنى أن تكون هذه الشروحات مفيدة وواضحة!CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com