Dado que la imagen proporciona una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, vamos a resolverla. La ecuación es: <p>\[ \left( \frac{1}{1+y^2} + \cos(x - 2xy) \right)\frac{dy}{dx} = y(\sqrt{y} + \sen(x)), y(0) = 1 \]</p> La condición inicial es \( y(0) = 1 \). Antes de proceder con la solución, se debe verificar si la ecuación es separable, lineal o exacta. En ese caso, se puede resolver mediante métodos apropiados. Sin embargo, no se proporciona suficiente información para completar la solución en este formato, como transformaciones o simplificaciones necesarias. <p>\[ \text{Para resolverla, necesitaríamos más contexto o elegir un método de solución adecuado.} \]</p> La ecuación no se presenta en una forma estándar fácilmente reconocible para aplicar un método directo de solución aquí. Un paso inicial podría ser intentar simplificar o reorganizar la ecuación, pero sin más contexto o instrucciones, la solución completa no se puede proporcionar.
<p>La ecuación diferencial dada es \[ \frac{dP}{dt} = k(P_1 - P) \], donde \( k \) es una constante.</p> <p>Esta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden lineal y separable. Podemos resolverla de la siguiente manera:</p> <p>Primero separamos las variables \( P \) y \( t \): \[ \frac{dP}{P_1 - P} = k \, dt \]</p> <p>Luego integramos ambos lados de la ecuación:</p> <p>\[ \int \frac{dP}{P_1 - P} = \int k \, dt \]</p> <p>La integración del lado izquierdo requiere un cambio de variable \( u = P_1 - P \), por lo que \( du = -dP \):</p> <p>\[ \int \frac{-du}{u} = -\ln |u| + C_1 \]</p> <p>Ahora reemplazamos \( u \) por \( P_1 - P \), con \( C_1 \) como la constante de integración:</p> <p>\[ -\ln |P_1 - P| = kt + C_1 \]</p> <p>Para el lado derecho, obtenemos:</p> <p>\[ kt + C_2 \]</p> <p>Igualamos las dos expresiones:</p> <p>\[ -\ln |P_1 - P| = kt + C \]</p> <p>Exponenciamos ambos lados para deshacernos del logaritmo:</p> <p>\[ |P_1 - P| = e^{-kt+C} \]</p> <p>\[ |P_1 - P| = e^C e^{-kt} \]</p> <p>\[ P_1 - P = \pm e^C e^{-kt} \]</p> <p>Donde \( e^C \) se puede considerar otra constante, digamos \( A \):</p> <p>\[ P_1 - P = \pm A e^{-kt} \]</p> <p>\[ P = P_1 \mp A e^{-kt} \]</p> <p>La constante \( A \), o en este caso \( \pm A \), se determinará a partir de condiciones iniciales específicas.</p> <p>En cuanto al teorema de existencia y unicidad, este se aplica a funciones continuas y sus derivadas parciales continuas en relación a todas las variables independientes y dependientes. Debemos buscar puntos donde la función y/o sus derivadas parciales no sean continuas. Sin embargo, en este caso, \( f(P) = k(P_1 - P) \) es continua en \( P \) y \( k \), y también lo es su derivada parcial \( \frac{\partial f}{\partial P} = -k \), la cual es constante.</p> <p>Por lo tanto, no podemos garantizar la existencia y unicidad en puntos donde \( P \) o \( k \) no estén definidos, lo cual en este caso particular no ocurre bajo las condiciones normales de los reales. Sin embargo, si se imponen restricciones adicionales sobre \( P \) que afecten la continuidad de \( f(P) \) o su derivada parcial respecto a \( P \), eso podría ser una situación donde el teorema de existencia y unicidad no se pueda garantizar.</p>
<p>هذه قائمة بالمعادلات التفاضلية المُعطاة:</p> <p>1) \( y'' - 2y' = 3e^{2x} \)</p> <p>2) \( y'' - y = e^x \)</p> <p>3) \( y' = x - 2xy^2 \)</p> <p>4) \( \mathrm{d}y + 2(y - 4x^2) \mathrm{d}x = 0 \)</p> <p>الخطوة الأولى هي تحديد نوع كل معادلة تفاضلية:</p> <p>1) المعادلة الأولى معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الرتبة الثانية.</p> <p>2) المعادلة الثانية معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الرتبة الثانية.</p> <p>3) المعادلة الثالثة معادلة تفاضلية غير خطية من الرتبة الأولى.</p> <p>4) المعادلة الرابعة معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الرتبة الأولى في صيغة المعادلة التفاضلية الدقيقة.</p>
Email: camtutor.ai@gmail.com