Example Question - divisors
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding Natural Numbers with Four Positive Divisors
<p>To find natural numbers with exactly four positive divisors less than 65, we must identify the form of such numbers. A natural number can have exactly four positive divisors if it is in one of the following forms:</p> <p>1. The square of a prime number: \( p^2 \)</p> <p>2. The product of two distinct prime numbers: \( p \times q \)</p> <p>Now, we will find numbers less than 65 for each case.</p> <p>1. For \( p^2 \): The prime numbers less than 8 (since \( 8^2 = 64 \)) are 2, 3, 5, and 7.</p> <p>- \( 2^2 = 4 \)</p> <p>- \( 3^2 = 9 \)</p> <p>- \( 5^2 = 25 \)</p> <p>- \( 7^2 = 49 \)</p> <p>The valid numbers are 4, 9, 25, and 49.</p> <p>2. For \( p \times q \): We consider pairs of primes less than 65:</p> <p>- \( 2 \times 3 = 6 \)</p> <p>- \( 2 \times 5 = 10 \)</p> <p>- \( 2 \times 7 = 14 \)</p> <p>- \( 2 \times 11 = 22 \)</p> <p>- \( 2 \times 13 = 26 \)</p> <p>- \( 2 \times 17 = 34 \)</p> <p>- \( 2 \times 19 = 38 \)</p> <p>- \( 2 \times 23 = 46 \)</p> <p>- \( 2 \times 29 = 58 \)</p> <p>- \( 3 \times 5 = 15 \)</p> <p>- \( 3 \times 7 = 21 \)</p> <p>- \( 3 \times 11 = 33 \)</p> <p>- \( 3 \times 13 = 39 \)</p> <p>- \( 3 \times 17 = 51 \)</p> <p>- \( 3 \times 19 = 57 \)</p> <p>- \( 5 \times 7 = 35 \)</p> <p>- \( 5 \times 11 = 55 \)</p> <p>- \( 5 \times 13 = 65 \) (not valid)</p> <p>- \( 7 \times 11 = 77 \) (not valid)</p> <p>The valid products are 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, and 58.</p> <p>The complete list of natural numbers less than 65 with exactly four positive divisors is: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 34, 35, 38, 39, 49, 51, 55, 57, and 58.</p> <p>Counting these, we have a total of 18 numbers.</p> <p>Thus, the answer is 18.</p>
Symmetrical Staircase Numbers and Their Divisors
Die Aufgabe scheint sich mit der Beziehung zwischen Treppezzahlen und ihren Teilern zu beschäftigen. Eine Treppezzahl ist eine Zahl, die als ein symmetrisches, treppenförmiges Muster von Punkten dargestellt werden kann, bei dem jede Stufe eine zusätzliche Punkt hat im Vergleich zur vorherigen. Hier sind die logischen Erklärungen zu den beiden Punkten: a) Treppezzahlen mit einer ungeraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler: Eine Treppezzahl lässt sich als Summe der ersten n natürlichen Zahlen darstellen, wobei n die Anzahl der Stufen ist. Wenn n ungerade ist, dann ist die Anzahl der Stufen gleich der Anzahl der Punkte auf der mittleren Stufe. Da die Summenbildung symmetrisch erfolgt, kann man die Treppezzahl als n mal den Wert der mittleren Stufe ausdrücken, der auch ungerade ist. Da n ungerade ist und der Wert der mittleren Stufe ungerade ist, ist das Produkt n*(mittlere Stufe) ebenfalls ungerade, was bedeutet, dass die Treppezzahl in diesem Fall einen ungeraden Teiler hat. b) Treppezzahlen mit einer geraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler: Eine Treppezzahl lässt sich als Summe der ersten n natürlichen Zahlen darstellen, wobei n die Anzahl der Stufen ist. Wenn n gerade ist, besteht die treppenförmige Figur aus einer symmetrischen Anordnung von Punkten mit einem zentralen Rechteck, das sich aus (n/2) Zeilen und (n/2) + 1 Punkten pro Zeile zusammensetzt. Das Produkt (n/2)*((n/2)+1) ist also immer ungerade, da entweder (n/2) oder ((n/2)+1) ungerade sein muss. Deshalb hat die Treppezzahl mit einer geraden Anzahl an Stufen mindestens einen ungeraden Teiler. Bei der Betrachtung der Treppezzahlen im Hinblick auf die Anzahl der Stufen und der Teiler können wir also folgern, dass beide, sowohl Treppezzahlen mit einer ungeraden als auch mit einer geraden Anzahl an Stufen, mindestens einen ungeraden Teiler haben müssen.
Understanding Divisibility and Factors
Lass uns die angegebenen Aussagen über Teiler überprüfen: a) Ist 3 ein Teiler von \(3^2\)? 3 ist ein Teiler von \(3^2\), da \(3^2 = 3 \times 3\), und man sieht, dass 3 ohne Rest in \(3^2\) aufgeht. b) Ist \(3^2\) ein Teiler von \(3^3\)? \(3^2\) ist ein Teiler von \(3^3\), da \(3^3 = 3 \times 3 \times 3\), und man sieht, dass \(3^2\) ohne Rest in \(3^3\) aufgeht. c) Ist 1 ein Teiler von 1? Ja, 1 ist ein Teiler von 1, denn 1 geteilt durch 1 ist gleich 1, was bedeutet, dass 1 in 1 ohne Rest aufgeht. d) Ist \(2 \cdot 5\) ein Teiler von 5? Nein, \(2 \cdot 5\) (was 10 ist) ist kein Teiler von 5, da 5 nicht ohne Rest durch 10 teilbar ist. e) Ist \(2 \cdot 5\) ein Teiler von \(3^2\)? Nein, \(2 \cdot 5\) (was 10 ist) ist kein Teiler von \(3^2\) (was 9 ist), da 9 nicht ohne Rest durch 10 teilbar ist. Nun zur zweiten Frage, was wir aus den verschiedenen Aussagen folgern können: a) \(a | b\) und \(b | a\) ? Wenn a ein Teiler von b und b ein Teiler von a ist, bedeutet dies, dass a und b gleich sein müssen. Denn nur wenn zwei Zahlen gleich sind, ist jede von ihnen ein Teiler der anderen. b) \(a | b\) und \(a | (b + a^2)\) ? Wenn a ein Teiler von b ist und a ebenfalls ein Teiler von \(b + a^2\) ist, dann ist dies wahr. Denn wenn a b teilt, kann man b als \(b = a \cdot k\) für ein gewisses k ausdrücken. Das heißt, a teilt jeden Term in der Summe \(b + a^2\) einzeln, womit a auch die ganze Summe teilt. c) \(a | 1\) ? In der Regel ist eine Zahl nur dann ein Teiler von 1, wenn die Zahl selbst 1 ist. Sonst kann keine Zahl außer 1 die Zahl 1 ohne Rest teilen. d) \(0 | a\) ? 0 kann kein Teiler einer anderen Zahl außer 0 selbst sein, denn es gibt keine Zahl, die mit 0 multipliziert eine andere Zahl als 0 ergibt.
Number Theory: Teiler and Primfaktor
Die Aufgabe hier lautet: 7. Begründen oder widerlegen Sie. (Denken Sie daran: Erst mehrere Beispiele versuchen!) a. Wenn \( n \) nur einen Primfaktor hat, dann hat \( n \) genau vier Teiler. b. Wenn \( n \) 13 Teiler hat, dann ist \( n \) nur durch eine Primzahl teilbar. c. Wenn vier verschiedene Primzahlen \( p, q, r, s \) existieren, dann hat \( n \) mindestens 16 Teiler. Um diese Behauptungen zu überprüfen, betrachten wir jeweils Beispiele und wenden unser Wissen über Teiler und Primzahlen an. a. Diese Aussage ist wahr, wenn \( n \) eine Primzahl \( p \) in der dritten Potenz ist, also \( n = p^3 \). Die Teiler von \( n \) wären in diesem Fall: 1, \( p \), \( p^2 \), und \( p^3 \). Ein Beispiel hierfür ist \( n = 2^3 = 8 \), welche die Teiler 1, 2, 4, und 8 hat - also genau vier Teiler. b. Diese Aussage ist falsch. Die Anzahl der Teiler einer Zahl \( n \) kann berechnet werden, indem man die Exponenten ihrer Primfaktorzerlegung um eins erhöht und die Ergebnisse miteinander multipliziert. Wenn \( n \) 13 Teiler hat, dann ist eine mögliche Faktorisierung \( n = p^{12} \), da 12 + 1 = 13. Eine andere Möglichkeit wäre das Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen in speziellen Potenzen, wie etwa \( n = p^2 \times q^4 \), da (2 + 1) × (4 + 1) = 3 × 5 = 15, also ist dieser spezifische Fall auch nicht korrekt. Eine Zahl mit genau 13 Teilern muss allerdings die Form \( n = p^{12} \) haben, da 13 eine Primzahl ist und die Anzahl der Teiler der Form \( k + 1 \) sein muss, wo \( k \) der Exponent in der Primfaktorzerlegung ist. c. Diese Aussage ist wahr. Wenn \( n \) das Produkt von vier verschiedenen Primzahlen ist, also \( n = pqrs \), dann hat \( n \) die Teiler 1, \( p \), \( q \), \( r \), \( s \), \( pq \), \( pr \), \( ps \), \( qr \), \( qs \), \( rs \), \( pqr \), \( pqs \), \( prs \), \( qrs \), und \( pqrs \). Das sind insgesamt 16 verschiedene Teiler, ohne dass man irgendwelche Primzahlen in einer höheren Potenz als eins hat. Daher hat \( n \) mindestens 16 Teiler, wenn vier verschiedene Primzahlen existieren. Hoffentlich hilft Ihnen diese Erklärung, die Aussagen zu begründen oder zu widerlegen.
Number Divisibility and Factors
Diese Aufgabe bezieht sich auf die Definition von Teilern einer Zahl. Ein Teiler ist eine Zahl, mit der man eine andere Zahl ohne Rest dividieren kann. a. Ist 4 ein Teiler von 120? Ja, 120 geteilt durch 4 ergibt 30, ohne Rest, also ist 4 ein Teiler von 120. b. Ist 9 ein Teiler von 16? Nein, 16 geteilt durch 9 ergibt 1 mit einem Rest von 7, also ist 9 kein Teiler von 16. c. Ist 1 ein Teiler von 5? Ja, jede Zahl ist durch 1 teilbar, also ist 1 ein Teiler von 5. d. Ist 5 ein Teiler von 1? Ja, 1 geteilt durch 5 ergibt 0,2 ohne Rest, also ist 5 ein Teiler von 1. In der Zahlentheorie wird jedoch in der Regel von ganzzahligen Teilern ausgegangen. In diesem Fall wäre 5 kein Teiler von 1, da 1 kleiner ist als 5. e. Ist 10 ein Teiler von 10? Ja, 10 geteilt durch 10 ergibt genau 1, ohne Rest, also ist 10 ein Teiler von 10. f. Ist 10 ein Teiler von 7? Nein, 7 geteilt durch 10 ergibt kein ganzes Ergebnis, also ist 10 kein Teiler von 7. g. Ist 7 ein Teiler von 0? Ja, 0 geteilt durch irgendeine Zahl (außer 0) ergibt immer 0, ohne Rest, also ist 7 ein Teiler von 0. h. Ist 0 ein Teiler von 0? Dies ist eine trickreiche Frage, da man nicht durch 0 teilen kann. Die Division durch 0 ist nicht definiert, also kann man nicht sagen, dass 0 ein Teiler von irgendetwas ist. i. Ist 8,5 ein Teiler von 17? Nein, 17 geteilt durch 8,5 ergibt 2, ohne Rest, aber hier sind nur ganze Zahlen als Teiler betrachtet. Da 8,5 keine ganze Zahl ist, würde man in diesem Kontext sagen, dass es kein Teiler ist. In einem breiteren mathematischen Sinn, wo auch Dezimalzahlen als Teiler betrachtet werden können, wäre 8,5 ein Teiler von 17.
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