Example Question - divisibility
Here are examples of questions we've helped users solve.
Divisibility Question on a Number Sequence
<p>首先我们识别出数列的模式。这个数列以2开始，每个后续的数都是前一个数乘以10再加1，所以通项公式可以写为 \(a_n = 2 \times 10^{n-1} + 1\)。</p> <p>要找出前2018个数中有多少个能被101整除，我们需要检查数列的每一项是否能被101整除。</p> <p>注意到\(10^2 = 100\)，而\(100 \equiv -1 \pmod{101}\)，所以\(10^{2k} \equiv 1 \pmod{101}\) 对于任何自然数k。</p> <p>对于数列中的\(a_n\)，我们可以写成这种形式\(a_n = 2(10^{2k}) + 1\) (当n为偶数时) 和 \(a_n = 20(10^{2k}) + 1\) (当n为奇数时)。</p> <p>当n为偶数时，\(a_n\)可以写作\(2(10^{2k}) + 1\)，由于\(10^{2k} \equiv 1 \pmod{101}\)，\(2(10^{2k}) + 1 \equiv 2 \times 1 + 1 \equiv 3 \pmod{101}\)，并不是0，所以当n为偶数时，\(a_n\)不能被101整除。</p> <p>当n为奇数时，\(a_n\)可以写作\(20(10^{2k}) + 1\)，由于\(10^{2k} \equiv 1 \pmod{101}\)，\(20(10^{2k}) + 1 \equiv 20 \times 1 + 1 \equiv 21 \pmod{101}\)，这同样不是0，所以即使n为奇数时，\(a_n\)也不能被101整除。</p> <p>由此可见，序列中没有数可以被101整除，所以答案是0。</p> <p>但是，选项中没有0，这提示我们可能错过了一些重要信息。我们忽略了一个事实，就是\(10^{100} \equiv 1 \pmod{101}\)由于费马小定理。这意味着任何\(10^{100k}\)的倍数形式的项，如\(2 \times 10^{100k} + 1\)都将能被101整除。</p> <p>我们现在要找的是2018个数中\(10^{100k}\)的倍数的数量，它对应于公式序列中\(100k + 1\)的位置。</p> <p>于是，\(100k + 1 \leq 2018\)，解得 \(k \leq 20.17\)，所以 \(k\) 的最大值为20。</p> <p>这意味着在前2018个数之中，有20个数能被101整除，所以正确答案是 (A) 20。</p>
Counting Divisible Numbers in a Sequence
\[ \text{令} S \text{为序列} 10^1, 10^2, 10^3, \ldots \text{。序列中的第} n \text{个数可以表示为} 10^{n} \text{。} \] \[ \text{如果} 10^n \text{能被} 10^2 \text{整除，那么} n \text{必须大于或等于} 2 \text{。} \] \[ \text{在} 2018 \text{个数中，第一个数} 10^1 \text{不能被} 10^2 \text{整除，其余} 2017 \text{个数可以。} \] \[ \text{因此，} 2018 \text{个数中有} 2017 \text{个数能被} 10^2 \text{整除。} \] \[ \text{答案是} (D)2017 \text{。} \]
Identifying Even-Digit Numbers
<p>The image does not contain a clear mathematical question that can be answered. It appears to be asking for numbers that have a certain property related to their digits, possibly being even, but without the full context or a specific question, no mathematical solution can be provided.</p>
Creating Numbers with Specific Divisibility Properties
<p>Let the digits on the cards be \(d_1, d_2, d_3, d_4\). Without the specific digits, we cannot provide a unique solution, but we can give a general method.</p> <p>a) To form an even number, the last digit \(d_4\) must be even.</p> <p>b) To form a number divisible by 3, the sum of the digits \((d_1 + d_2 + d_3 + d_4)\) must be divisible by 3.</p> <p>c) To form a number divisible by 10, the last digit \(d_4\) must be 0.</p> <p>d) To form a number divisible by 9, the sum of the digits \((d_1 + d_2 + d_3 + d_4)\) must be divisible by 9.</p> <p>e) To form a number divisible by 5, the last digit \(d_4\) must be 0 or 5.</p> <p>Combine digits to satisfy the above conditions for each part of the question.</p>
Math Problem: Greatest Common Divisor Calculation
A imagem mostra um problema de matemática que pede para calcular o valor de uma expressão: \(1 + mdc(40, 60)\) Para resolver esse problema, primeiro precisamos encontrar o máximo divisor comum (mdc) de 40 e 60. O mdc de dois números é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Uma maneira de fazer isso é listar os divisores de cada número e depois encontrar o maior divisor que eles têm em comum. Os divisores de 40 são: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 Os divisores de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 O maior divisor que 40 e 60 têm em comum é 20. Isso significa que o mdc(40, 60) é 20. Agora podemos substituir o mdc na expressão original: \(1 + mdc(40, 60) = 1 + 20 = 21\) Portanto, o resultado é 21.
Mathematical Problem Solving with Divisibility and Factors
Sicher, ich helfe Ihnen gerne bei der Lösung der Aufgaben im Bild. **Übung 9.2 a:** Eine Zahl soll die Zahlen 6, 12, 30 und 45 als Teiler haben. Gehören Sie ein solches an. Suchen Sie das kleinstmögliche a. (Tipp: Nutzen Sie die Primzahlfaktoren von 6, 12, usw.) Um eine Zahl zu finden, die alle diese Zahlen als Teiler hat, müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) dieser Zahlen finden. Um das kgV zu bestimmen, teilen wir jede Zahl in ihre Primfaktoren auf: - 6 = 2 * 3 - 12 = 2^2 * 3 - 30 = 2 * 3 * 5 - 45 = 3^2 * 5 Das kgV ist die Zahl, die jeden Primfaktor in der höchsten Potenz enthält, die in all diesen Zahlen vorkommt: - kgV(6, 12, 30, 45) = 2^2 * 3^2 * 5 = 4 * 9 * 5 = 36 * 5 = 180 Das kleinste a ist also 180. **Übung 9.2 b:** Finden Sie alle Zahlen, die genau 3 verschiedene Teiler haben. Wie sind Sie aufgebaut? Welche Zahlen haben eine ungerade Anzahl von Teilern? Eine Zahl mit genau drei verschiedenen Teilern muss eine Quadratzahl eines Primzahl sein. Das liegt daran, dass die Teiler 1, die Primzahl selbst und ihre Quadratzahl sein müssen. Zum Beispiel hat 4, das eine Quadratzahl von 2 ist, genau drei Teiler: 1, 2 und 4. Zahlen mit ungerader Anzahl von Teilern sind Quadratzahlen, da jede andere Zahl eine gerade Anzahl von Teilern hat. Das liegt daran, dass die Teiler in Paaren auftreten (zum Beispiel bei der Zahl 12 sind die Teilerpaare (1,12), (2,6) und (3,4)). **Übung 9.2 c:** Das Produkt dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist stets durch 6 teilbar. Was kann man über das Produkt von vier oder fünf aufeinanderfolgenden Zahlen sagen? Für drei aufeinanderfolgende Zahlen können wir sie als n, n+1 und n+2 bezeichnen, wobei n eine natürliche Zahl ist. Mindestens eine dieser Zahlen ist gerade und somit durch 2 teilbar, und mindestens eine der Zahlen ist durch 3 teilbar, da jede dritte Zahl ein Vielfaches von 3 ist. Daher ist das Produkt n*(n+1)*(n+2) durch 6 teilbar. Wenn wir das Produkt von vier aufeinanderfolgenden Zahlen betrachten, n*(n+1)*(n+2)*(n+3), dann ist dieses Produkt sicherlich auch durch 6 teilbar, da es das Produkt von drei aufeinanderfolgenden Zahlen enthält, welches, wie eben gezeigt, durch 6 teilbar ist. Zusätzlich haben wir hier ein weiteres Produkt mit einer aufeinanderfolgenden Zahl, wodurch das Produkt auch durch 4 und somit durch 24 teilbar ist (da 24 = 2*2*2*3 ist und wir bereits wissen, dass das Produkt durch 2 und 3 teilbar ist). Für fünf aufeinanderfolgende Zahlen n*(n+1)*(n+2)*(n+3)*(n+4) ist das Produkt auch durch 6 teilbar, da die Teilbarkeit durch 6 bereits für drei Zahlen gilt. Zusätzlich, weil in einem Set von fünf aufeinanderfolgenden Zahlen zumindest eine durch 5 teilbar ist, wissen wir, dass das Produkt von fünf aufeinanderfolgenden Zahlen auch durch 5 teilbar ist. Daher ist das Produkt zusätzlich immer durch 30 teilbar. Ich hoffe das hilft Ihnen bei der Lösung der Übungen!
Understanding Divisibility and Factors
Lass uns die angegebenen Aussagen über Teiler überprüfen: a) Ist 3 ein Teiler von \(3^2\)? 3 ist ein Teiler von \(3^2\), da \(3^2 = 3 \times 3\), und man sieht, dass 3 ohne Rest in \(3^2\) aufgeht. b) Ist \(3^2\) ein Teiler von \(3^3\)? \(3^2\) ist ein Teiler von \(3^3\), da \(3^3 = 3 \times 3 \times 3\), und man sieht, dass \(3^2\) ohne Rest in \(3^3\) aufgeht. c) Ist 1 ein Teiler von 1? Ja, 1 ist ein Teiler von 1, denn 1 geteilt durch 1 ist gleich 1, was bedeutet, dass 1 in 1 ohne Rest aufgeht. d) Ist \(2 \cdot 5\) ein Teiler von 5? Nein, \(2 \cdot 5\) (was 10 ist) ist kein Teiler von 5, da 5 nicht ohne Rest durch 10 teilbar ist. e) Ist \(2 \cdot 5\) ein Teiler von \(3^2\)? Nein, \(2 \cdot 5\) (was 10 ist) ist kein Teiler von \(3^2\) (was 9 ist), da 9 nicht ohne Rest durch 10 teilbar ist. Nun zur zweiten Frage, was wir aus den verschiedenen Aussagen folgern können: a) \(a | b\) und \(b | a\) ? Wenn a ein Teiler von b und b ein Teiler von a ist, bedeutet dies, dass a und b gleich sein müssen. Denn nur wenn zwei Zahlen gleich sind, ist jede von ihnen ein Teiler der anderen. b) \(a | b\) und \(a | (b + a^2)\) ? Wenn a ein Teiler von b ist und a ebenfalls ein Teiler von \(b + a^2\) ist, dann ist dies wahr. Denn wenn a b teilt, kann man b als \(b = a \cdot k\) für ein gewisses k ausdrücken. Das heißt, a teilt jeden Term in der Summe \(b + a^2\) einzeln, womit a auch die ganze Summe teilt. c) \(a | 1\) ? In der Regel ist eine Zahl nur dann ein Teiler von 1, wenn die Zahl selbst 1 ist. Sonst kann keine Zahl außer 1 die Zahl 1 ohne Rest teilen. d) \(0 | a\) ? 0 kann kein Teiler einer anderen Zahl außer 0 selbst sein, denn es gibt keine Zahl, die mit 0 multipliziert eine andere Zahl als 0 ergibt.
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