Example Question - factors
Here are examples of questions we've helped users solve.
Mathematical Problem Solving with Divisibility and Factors
Sicher, ich helfe Ihnen gerne bei der Lösung der Aufgaben im Bild. **Übung 9.2 a:** Eine Zahl soll die Zahlen 6, 12, 30 und 45 als Teiler haben. Gehören Sie ein solches an. Suchen Sie das kleinstmögliche a. (Tipp: Nutzen Sie die Primzahlfaktoren von 6, 12, usw.) Um eine Zahl zu finden, die alle diese Zahlen als Teiler hat, müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) dieser Zahlen finden. Um das kgV zu bestimmen, teilen wir jede Zahl in ihre Primfaktoren auf: - 6 = 2 * 3 - 12 = 2^2 * 3 - 30 = 2 * 3 * 5 - 45 = 3^2 * 5 Das kgV ist die Zahl, die jeden Primfaktor in der höchsten Potenz enthält, die in all diesen Zahlen vorkommt: - kgV(6, 12, 30, 45) = 2^2 * 3^2 * 5 = 4 * 9 * 5 = 36 * 5 = 180 Das kleinste a ist also 180. **Übung 9.2 b:** Finden Sie alle Zahlen, die genau 3 verschiedene Teiler haben. Wie sind Sie aufgebaut? Welche Zahlen haben eine ungerade Anzahl von Teilern? Eine Zahl mit genau drei verschiedenen Teilern muss eine Quadratzahl eines Primzahl sein. Das liegt daran, dass die Teiler 1, die Primzahl selbst und ihre Quadratzahl sein müssen. Zum Beispiel hat 4, das eine Quadratzahl von 2 ist, genau drei Teiler: 1, 2 und 4. Zahlen mit ungerader Anzahl von Teilern sind Quadratzahlen, da jede andere Zahl eine gerade Anzahl von Teilern hat. Das liegt daran, dass die Teiler in Paaren auftreten (zum Beispiel bei der Zahl 12 sind die Teilerpaare (1,12), (2,6) und (3,4)). **Übung 9.2 c:** Das Produkt dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist stets durch 6 teilbar. Was kann man über das Produkt von vier oder fünf aufeinanderfolgenden Zahlen sagen? Für drei aufeinanderfolgende Zahlen können wir sie als n, n+1 und n+2 bezeichnen, wobei n eine natürliche Zahl ist. Mindestens eine dieser Zahlen ist gerade und somit durch 2 teilbar, und mindestens eine der Zahlen ist durch 3 teilbar, da jede dritte Zahl ein Vielfaches von 3 ist. Daher ist das Produkt n*(n+1)*(n+2) durch 6 teilbar. Wenn wir das Produkt von vier aufeinanderfolgenden Zahlen betrachten, n*(n+1)*(n+2)*(n+3), dann ist dieses Produkt sicherlich auch durch 6 teilbar, da es das Produkt von drei aufeinanderfolgenden Zahlen enthält, welches, wie eben gezeigt, durch 6 teilbar ist. Zusätzlich haben wir hier ein weiteres Produkt mit einer aufeinanderfolgenden Zahl, wodurch das Produkt auch durch 4 und somit durch 24 teilbar ist (da 24 = 2*2*2*3 ist und wir bereits wissen, dass das Produkt durch 2 und 3 teilbar ist). Für fünf aufeinanderfolgende Zahlen n*(n+1)*(n+2)*(n+3)*(n+4) ist das Produkt auch durch 6 teilbar, da die Teilbarkeit durch 6 bereits für drei Zahlen gilt. Zusätzlich, weil in einem Set von fünf aufeinanderfolgenden Zahlen zumindest eine durch 5 teilbar ist, wissen wir, dass das Produkt von fünf aufeinanderfolgenden Zahlen auch durch 5 teilbar ist. Daher ist das Produkt zusätzlich immer durch 30 teilbar. Ich hoffe das hilft Ihnen bei der Lösung der Übungen!
Understanding Divisibility and Factors
Lass uns die angegebenen Aussagen über Teiler überprüfen: a) Ist 3 ein Teiler von \(3^2\)? 3 ist ein Teiler von \(3^2\), da \(3^2 = 3 \times 3\), und man sieht, dass 3 ohne Rest in \(3^2\) aufgeht. b) Ist \(3^2\) ein Teiler von \(3^3\)? \(3^2\) ist ein Teiler von \(3^3\), da \(3^3 = 3 \times 3 \times 3\), und man sieht, dass \(3^2\) ohne Rest in \(3^3\) aufgeht. c) Ist 1 ein Teiler von 1? Ja, 1 ist ein Teiler von 1, denn 1 geteilt durch 1 ist gleich 1, was bedeutet, dass 1 in 1 ohne Rest aufgeht. d) Ist \(2 \cdot 5\) ein Teiler von 5? Nein, \(2 \cdot 5\) (was 10 ist) ist kein Teiler von 5, da 5 nicht ohne Rest durch 10 teilbar ist. e) Ist \(2 \cdot 5\) ein Teiler von \(3^2\)? Nein, \(2 \cdot 5\) (was 10 ist) ist kein Teiler von \(3^2\) (was 9 ist), da 9 nicht ohne Rest durch 10 teilbar ist. Nun zur zweiten Frage, was wir aus den verschiedenen Aussagen folgern können: a) \(a | b\) und \(b | a\) ? Wenn a ein Teiler von b und b ein Teiler von a ist, bedeutet dies, dass a und b gleich sein müssen. Denn nur wenn zwei Zahlen gleich sind, ist jede von ihnen ein Teiler der anderen. b) \(a | b\) und \(a | (b + a^2)\) ? Wenn a ein Teiler von b ist und a ebenfalls ein Teiler von \(b + a^2\) ist, dann ist dies wahr. Denn wenn a b teilt, kann man b als \(b = a \cdot k\) für ein gewisses k ausdrücken. Das heißt, a teilt jeden Term in der Summe \(b + a^2\) einzeln, womit a auch die ganze Summe teilt. c) \(a | 1\) ? In der Regel ist eine Zahl nur dann ein Teiler von 1, wenn die Zahl selbst 1 ist. Sonst kann keine Zahl außer 1 die Zahl 1 ohne Rest teilen. d) \(0 | a\) ? 0 kann kein Teiler einer anderen Zahl außer 0 selbst sein, denn es gibt keine Zahl, die mit 0 multipliziert eine andere Zahl als 0 ergibt.
Number Divisibility and Factors
Diese Aufgabe bezieht sich auf die Definition von Teilern einer Zahl. Ein Teiler ist eine Zahl, mit der man eine andere Zahl ohne Rest dividieren kann. a. Ist 4 ein Teiler von 120? Ja, 120 geteilt durch 4 ergibt 30, ohne Rest, also ist 4 ein Teiler von 120. b. Ist 9 ein Teiler von 16? Nein, 16 geteilt durch 9 ergibt 1 mit einem Rest von 7, also ist 9 kein Teiler von 16. c. Ist 1 ein Teiler von 5? Ja, jede Zahl ist durch 1 teilbar, also ist 1 ein Teiler von 5. d. Ist 5 ein Teiler von 1? Ja, 1 geteilt durch 5 ergibt 0,2 ohne Rest, also ist 5 ein Teiler von 1. In der Zahlentheorie wird jedoch in der Regel von ganzzahligen Teilern ausgegangen. In diesem Fall wäre 5 kein Teiler von 1, da 1 kleiner ist als 5. e. Ist 10 ein Teiler von 10? Ja, 10 geteilt durch 10 ergibt genau 1, ohne Rest, also ist 10 ein Teiler von 10. f. Ist 10 ein Teiler von 7? Nein, 7 geteilt durch 10 ergibt kein ganzes Ergebnis, also ist 10 kein Teiler von 7. g. Ist 7 ein Teiler von 0? Ja, 0 geteilt durch irgendeine Zahl (außer 0) ergibt immer 0, ohne Rest, also ist 7 ein Teiler von 0. h. Ist 0 ein Teiler von 0? Dies ist eine trickreiche Frage, da man nicht durch 0 teilen kann. Die Division durch 0 ist nicht definiert, also kann man nicht sagen, dass 0 ein Teiler von irgendetwas ist. i. Ist 8,5 ein Teiler von 17? Nein, 17 geteilt durch 8,5 ergibt 2, ohne Rest, aber hier sind nur ganze Zahlen als Teiler betrachtet. Da 8,5 keine ganze Zahl ist, würde man in diesem Kontext sagen, dass es kein Teiler ist. In einem breiteren mathematischen Sinn, wo auch Dezimalzahlen als Teiler betrachtet werden können, wäre 8,5 ein Teiler von 17.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com