Question - Local Maximum of a Function
Solution:
题目要求我们找出函数 $$ f $$ 在哪一个区间上保证有一个局部最大值。首先，根据表中给出的 $$ f' $$ 的值，我们可以分析函数 $$ f $$ 的增减性。函数在其导数为正的区间上增加，在导数为负的区间上减少。因此，一个局部最大值出现在导数从正变成负的点上。根据表格，我们可以看出：- 在 $$ x = 1 $$ 时前后导数的符号从正（$$ f'(0) = 1 $$）变为负（$$ f'(1) = -2 $$），因此 $$ x = 1 $$ 可能是局部最大值点。- $$ x = 2 $$ 到 $$ x = 3 $$ 时，导数一直为负，因此在 $$ (2,3) $$ 区间内不可能有局部最大值。- $$ x = 3 $$ 到 $$ x = 4 $$ 时，导数符号仍然为负。- 在 $$ x = 4 $$ 时，导数符号并没有改变。虽然 $$ f'(4) = 0 $$，但导数的符号没有变化，所以 $$ x = 4 $$ 不是局部最大值点。所以，函数 $$ f $$ 保证在 $$ x = 1 $$ 处有局部最大值，对应的区间是 $$ (0,1) $$。选择答案是 (A)。这种问题的关键在于分析导数的符号变化，来找到函数从增加转变为减少的点，这些点可能是局部最大值点。
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