Example Question - derivative analysis
Here are examples of questions we've helped users solve.
Local Maximum of a Function
题目要求我们找出函数 \( f \) 在哪一个区间上保证有一个局部最大值。 首先，根据表中给出的 \( f' \) 的值，我们可以分析函数 \( f \) 的增减性。函数在其导数为正的区间上增加，在导数为负的区间上减少。因此，一个局部最大值出现在导数从正变成负的点上。 根据表格，我们可以看出： - 在 \( x = 1 \) 时前后导数的符号从正（\( f'(0) = 1 \)）变为负（\( f'(1) = -2 \)），因此 \( x = 1 \) 可能是局部最大值点。 - \( x = 2 \) 到 \( x = 3 \) 时，导数一直为负，因此在 \( (2,3) \) 区间内不可能有局部最大值。 - \( x = 3 \) 到 \( x = 4 \) 时，导数符号仍然为负。 - 在 \( x = 4 \) 时，导数符号并没有改变。虽然 \( f'(4) = 0 \)，但导数的符号没有变化，所以 \( x = 4 \) 不是局部最大值点。 所以，函数 \( f \) 保证在 \( x = 1 \) 处有局部最大值，对应的区间是 \( (0,1) \)。选择答案是 (A)。 这种问题的关键在于分析导数的符号变化，来找到函数从增加转变为减少的点，这些点可能是局部最大值点。
Locating Local Maximum of a Function
從圖中所提供的資訊，函數 f'(x) 在不同的 x 值有不同的結果。如果我們希望找到區域性最大值，我們就需要找到函數 f'(x) 由正轉負的點，因為這表示函數 f(x) 從增加轉為減少。 從表中我們可以看到： - 在 x=1 時，f'(1) = -2，函數在此減少。 - 在 x=2 時，f'(2) = 3，函數在此增加。 - 在 x=3 時，f'(3) = 0，函數在此沒有增減。 - 在 x=4 時，f'(4) = -5，函數在此減少。 於是我們可以看到在 x=2 到 x=3 的區間，函數 f'(x) 從正轉為負 (f'(2) 為正而 f'(4) 為負)。這意味著在 x=3 左側的某一點，函數 f(x) 可能達到一個區域性最大值。 因此，在所提供的選項中，(C) (2, 4) 區間保證了函數 f 在某一點會達到區域性最大值。所以正確答案是 (C) (2, 4)。
Conditions for Function to be Decreasing
Chúng ta cần tìm điều kiện của \( a \) để hàm số \( f(x) = ax^2 + bx + c \) có \( f'(x) < 0 \). Hàm số này là một hàm bậc hai với \( a \) là hệ số của \( x^2 \). Hàm số đồng biến khi \( f'(x) > 0 \) và nghịch biến khi \( f'(x) < 0 \). Để xác định dấu của \( f'(x) \), ta cần tìm đạo hàm bậc nhất của \( f(x) \): \( f'(x) = 2ax + b \) Để \( f'(x) < 0 \) với mọi \( x \), \( a \) phải nhỏ hơn 0 (vì nếu \( a > 0 \), sẽ tồn tại giá trị \( x \) sao cho \( 2ax + b > 0 \), và ngược lại, nếu \( a = 0 \), đạo hàm sẽ không phụ thuộc vào \( x \) mà chỉ là hằng số \( b \), không thể đảm bảo \( f'(x) < 0 \) với mọi \( x \)). Như vậy, điều kiện cần tìm của \( a \) là: \( a < 0 \) Vì vậy, phương án đúng là C. \( a < 0 \).
Derivative Analysis of a Function Graph
Bu görselde bir fonksiyonun grafiği verilmiştir ve bazı x değerleri için fonksiyonun türevinin ne olduğu sorulmaktadır. Sorulan x değerleri x = -2, x = -1 ve x = 2 noktalarıdır. Grafiğe baktığımızda; a) x = -2 noktasında: Fonksiyonun grafiği x = -2 noktasında bir tepe noktasına sahip ve bu noktada grafik yatay bir doğruyla kesiliyor. Bu durum fonksiyonun bu noktada türevinin 0 olduğunu gösterir. b) x = -1 noktasında: Fonksiyonun grafiği x = -1 noktasında kesikli bir yapıya sahip ve fonksiyonun değeri burada atlıyor. Yani, f(-1) için fonksiyon tanımlı değil, bu yüzden fonksiyonun bu noktada türevi yoktur. c) x = 2 noktasında: Fonksiyonun grafiği x = 2 noktasında düz bir çizgi ile kesilmekte ve orada bir dönüş noktası yok. Bu durum, fonksiyonun bu noktada türevinin sıfırdan farklı ve belirli bir değere sahip olduğunu gösterir. Ancak grafiğe göre bu türevin kesin değerini belirlemek mümkün değildir, sadece türevin var olduğu söylenebilir. Sonuçlar şöyle özetlenebilir: a) x = -2 noktasında fonksiyonun türevi 0'dır. b) x = -1 noktasında fonksiyonun türevi yoktur (tanımsızdır). c) x = 2 noktasında fonksiyonun türevi vardır ve sıfırdan farklıdır (kesin değer belirtilmemekte).
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